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19.已知函數(shù)f(x)在其定義域(0,+∞),f(2)=1,且對任意正數(shù)x,y都有f(xy)=f(x)+f(y)成立.
(1)求f(8)的值;
(2)若f(x)是定義域內(nèi)的增函數(shù),解關(guān)于x不等式f(x)+f(x-2)≤3.

分析 (1)利用條件、恒等式和賦值法即可求f(8)的值;
(2)由(1)和恒等式將不等式f(x)+f(x-2)≤3等價轉(zhuǎn)化,結(jié)合函數(shù)的定義域、單調(diào)性列出不等式組,求解即可.

解答 解:(1)由題意得,f(2)=1,任意正數(shù)x,y都有f(xy)=f(x)+f(y)成立,
令x1=x2=2,得f(4)=2f(2)=2,
令x1=4,x2=2,得f(8)=f(4)+f(2)=3;
(2)由(1)得f(8)=3,
所以f(x)+f(x-2)≤3化為f(x)+f(x-2)≤f(8),
因為任意正數(shù)x,y都有f(xy)=f(x)+f(y)成立,
所以f(x)+f(x-2)≤f(8)等價于f[x(x-2)]≤f(8),
因為f(x)是定義域(0,+∞)上的增函數(shù),
所以{x0x20xx88,解得2x4+26
所以不等式的解集是24+26]

點評 本題考查抽象函數(shù)的函數(shù)值和單調(diào)性問題,以及不等式的解集,一般采用賦值法、等價轉(zhuǎn)化的思想,根據(jù)恒等式、函數(shù)單調(diào)性將不等式進行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵.

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