Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓Γ：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

3

2

，上頂點(diǎn)（0，b）在直線x+y-1=0上．
（Ⅰ）求橢圓Γ的方程；
（Ⅱ）過原點(diǎn)的直線與橢圓Γ交于A，B兩點(diǎn)（A，B不是橢圓Γ的頂點(diǎn)）．點(diǎn)C在橢圓Γ上，且AC⊥AB，直線BC與x軸、y軸分別交于P，Q兩點(diǎn)．
（i）設(shè)直線BC，AP的斜率分別為k₁，k₂，問是否存在實(shí)數(shù)t，使得k₁=tk₂？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由；
（ii）求△OPQ面積的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：計(jì)算題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（I）運(yùn)用離心率公式和已知點(diǎn)，求出a，b，即可得到橢圓方程；
（II） （i）存在實(shí)數(shù)t，使得k₁=tk₂．設(shè)A（x₁，y₁）（x₁y₁≠0），C（x₂，y₂），則B（-x₁，-y₁），運(yùn)用斜率公式及兩直線垂直的條件，設(shè)直線AC的方程為y=kx+m，聯(lián)立橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理，求出BC的方程，再由斜率的關(guān)系，即可得到t；
（ii）由（ i）求出△OPQ的面積為S=

1

2

|OP|•|OQ|=

1

2

×3|x1|×

3

4

|y1|，再由均值不等式，即可得到最大值．

解答： 解：（I）∵上頂點(diǎn)（0，b）在直線x+y-1=0上，∴b=1，
由e=

c

a

=

a2-b2

a

=

3

2

得a²=4b²，即a=2，
∴橢圓Γ的方程為

x2

4

+y2=1；
（II） （i）存在實(shí)數(shù)t，使得k₁=tk₂．
設(shè)A（x₁，y₁）（x₁y₁≠0），C（x₂，y₂），則B（-x₁，-y₁）
∴直線AB的斜率k_AB=

y1

x1

，
∵AB⊥AC，∴直線AC的斜率k=-

x1

y1

，
設(shè)直線AC的方程為y=kx+m，由題意知k≠0，m≠0，
由

y=kx+m x2+4y2=4

得（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0，
∴x₁+x₂=-

8km

1+4k2

，y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2m=

2m

1+4k2

由題意知x₁≠-x₂，∴k₁=

y1+y2

x1+x2

=-

1

4k

=

y1

4x1

，
∴直線BC的方程為y+y₁=

y1

4x1

（x+x₁），令y=0，得x=3x₁，即P（3x₁，0），
∴k₂=

0-y1

3x1-x1

=-

y1

2x1

∴k₁=-

1

2

k₂即t=-

1

2

，
∴存在常數(shù)t=-

1

2

使得結(jié)論成立．
（ii）直線BC的方程y+y₁=

y1

4x1

（x+x₁），
令x=0，得y=-

3

4

y₁，
即Q（0，-

3

4

y₁），由（ i）知P（3x₁，0），
∴△OPQ的面積為S=

1

2

|OP|•|OQ|=

1

2

×3|x1|×

3

4

|y1|=

9

8

|x1||y1|
由于|x₁||y₁|≤

x12

4

+y12，
當(dāng)且僅當(dāng)

|x1|

2

=|y1|=

2

2

時(shí)等號成立，此時(shí)S取得最大值

9

8

，
∴△OPQ面積的最大值為

9

8

．

點(diǎn)評：本題考查橢圓的方程和性質(zhì)及運(yùn)用，考查直線方程和橢圓方程聯(lián)立，消去未知數(shù)，運(yùn)用韋達(dá)定理，考查直線方程的形式以及直線的斜率公式的運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．