在銳角三角形ABC中,已知內(nèi)角A、B、C所對的邊分別為a、b、c,且
3
(tanA-tanB)=1+tanA•tanB
且a2-ab=c2-b2
(1)求A、B、C的大。
(2)若向量
m
=(sinA,cosA)
n
=(cosB,sinB)
,求|3
m
-2
n
|的值.
分析:(1)先利用差角的正切公式,再利用余弦定理,結(jié)合三角形的內(nèi)角和,即可求得A、B、C的大。
(2)計算模長,先平方,利用數(shù)量積的運算,再開方,即可得到結(jié)論.
解答:解:(1)∵
3
(tanA-tanB)=1+tanA•tanB
,△ABC為銳角三角形,
tanA-tanB
1+tanA•tanB
=
3
3
,
tan(A-B)=
3
3

-
π
2
<A-B<
π
2
.

A-B=
π
6
.(3分)
∵a2-ab=c2-b2
∴cosC=
a2+b2-c2
2ab
=
1
2
,
C=
π
3
.

∴A+B=
3

A=
12
,B=
π
4
,C=
π
3
.(6分)
(2)∵向量
m
=(sinA,cosA)
,
n
=(cosB,sinB)
,
|3
m
-2
n
|2=9 
m
2+4
n
2-12 
m
n
=13-12(sinAcosB+cosAsinB)
=13-12sin(A+B)=13-12sin(2B+
π
6
)=13-6
3

|3
m
-2
n
|=
13-6
3
點評:本題考查差角正切公式,考查余弦定理的運用,考查向量的數(shù)量積,考查模長的計算,屬于中檔題.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在銳角三角形ABC中,a,b,c分別是角A,B,C的對邊,且a=2bsinA.
(1)求∠B的大小;
(2)若a=3
3
,c=5
,求邊b的長.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在銳角三角形ABC中,a,b,c分別為內(nèi)角A,B,C所對的邊,且滿足
3
a-2bsinA=0

(Ⅰ)求角B的大小;
(Ⅱ)若b=
7
,c=2,求
AB
AC
的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在銳角三角形ABC中,a,b,c分別是角A、B、C的對邊,
p
=(a+c,b),
q
=(c-a,b-c)且
p
q

(1)求A的大小;
(2)記f(B)=2sin2B+sin(2B+
π
6
)
,求f(B)的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2011•南充一模)在銳角三角形ABC中,角A,B,C對邊a,b,c且a2+b2-
2
ab=c2,tanA-tanB=csc2A
①求證:2A-B=
π
2
;
②求三角形ABC三個角的大小.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知命題p:在銳角三角形ABC中,?A,B,使sinA<cosB;命題q:?x∈R,都有x2+x+1>0,給出下列結(jié)論:
①命題“p∧q”是真命題;           
②命題“¬p∨q”是真命題;
③命題“¬p∨¬q”是假命題;       
④命題“p∧¬q”是假命題;
其中正確結(jié)論的序號是(  )

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