Question

如圖①，一條寬為1km的兩平行河岸有三個(gè)工廠A、B、C，工廠B與A、C的直線距離都是2km，BC與河岸垂直，D為垂足．現(xiàn)要在河岸AD上修建一個(gè)供電站，并計(jì)劃鋪設(shè)地下電纜和水下電纜，從供電站向三個(gè)工廠供電．已知鋪設(shè)地下電纜、水下電纜的費(fèi)用分別為2萬(wàn)元/km、4萬(wàn)元/km．
（Ⅰ）已知工廠A與B之間原來(lái)鋪設(shè)有舊電纜（原線路不變），經(jīng)改造后仍可使用，舊電纜的改造費(fèi)用是0.5萬(wàn)元/km．現(xiàn)決定將供電站建在點(diǎn)D處，并通過(guò)改造舊電纜修建供電線路，試求該方案總施工費(fèi)用的最小值；
（Ⅱ）如圖②，已知供電站建在河岸AD的點(diǎn)E處，且決定鋪設(shè)電纜的線路為CE、EA、EB，若∠DCE=θ（0≤θ≤

π

3

），試用θ表示出總施工費(fèi)用y（萬(wàn)元）的解析式，并求總施工費(fèi)用y的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）過(guò)D作DE⊥AB于E，地下電纜的最短線路為DE，AB，CD，由此能求出該方案的總費(fèi)用．
（Ⅱ）因?yàn)椤螪CE=θ，0≤θ≤

π

3

，所以CE=EB=

1

cosθ

，ED=tanθ，AE=

3

-tanθ，則y=2×

3-sinθ

cosθ

+2

3

，令g(θ)=

3-sinθ

cosθ

則g′(θ)=

3sinθ-1

cos2θ

，由此能求出施工總費(fèi)用的最小值．

解答： 解：（1）過(guò)D作DE⊥AB于E，地下電纜的最短線路為DE，AB，CD
該方案總費(fèi)用為1×4+

3

2

×2+2×0.5=5+

3

（萬(wàn)元）
（2）CE=EB=

1

cosθ

，ED=tanθ，AE=

3

-tanθ
則y=

1

cosθ

×4+

1

cosθ

×2+(

3

-tanθ)×2=2×

3-sinθ

cosθ

+2

3

設(shè)g(θ)=

3-sinθ

cosθ

則g′(θ)=

3sinθ-1

cos2θ

由g'（θ）=0得sinθ0=

1

3

，θ0∈(0，

π

3

)
列表g(θ)min=g(θ0)=2

2

，則ymin=4

2

+2

3

此時(shí)ED=tanθ0=

2

4

因此施工總費(fèi)用的最小值為(4

2

+2

3

)萬(wàn)元，其中ED=

2

4

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)在生產(chǎn)實(shí)際中的應(yīng)用，考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，綜合性強(qiáng)．