Question

【題目】已知函數(shù)f（x）= ﹣ +cx+d有極值．
（Ⅰ）求實(shí)數(shù)c的取值范圍；
（Ⅱ）若f（x）在x=2處取得極值，且當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）＜ +2d恒成立，求實(shí)數(shù)d的取值范圍．

Answer 1

【答案】解（Ⅰ）∵f（x）= x3﹣ x2+cx+d，

∴f′（x）=x2﹣x+c，要使f（x）有極值，則方程f′（x）=x2﹣x+c=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)解，

從而△=1﹣4c＞0，

∴c＜ ．

（Ⅱ）∵f（x）在x=2處取得極值，

∴f′（2）=4﹣2+c=0，

∴c=﹣2．

∴f（x）= x3﹣ x2﹣2x+d，

∵f′（x）=x2﹣x﹣2=（x﹣2）（x+1），

∴當(dāng)x∈（﹣∞，﹣1]時(shí)，f′（x）＞0，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)x∈（﹣1，2]時(shí)，f′（x）＜0，函數(shù)單調(diào)遞減．

∴x＜0時(shí)，f（x）在x=﹣1處取得最大值 +d，

∵x＜0時(shí)，f（x）＜ d2+2d恒成立，

∴ +d＜ d2+2d，即（d+7）（d﹣1）＞0，

∴d＜﹣7或d＞1，

即d的取值范圍是（﹣∞，﹣7）∪（1，+∞）

【解析】（1）對(duì)f（x）進(jìn)行求導(dǎo)，要使f（x）有極值，只需要f′（x）=x2﹣x+c=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)解，從而轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的根的個(gè)數(shù)，只需△>0，解出即可得到c的范圍，（2）f（x）在x=2處取得極值，f′（2）=4﹣2+c=0，解出c的值，分析f（x）的單調(diào)性，進(jìn)而分析出當(dāng)x<0時(shí)，函數(shù)的最大值，又由當(dāng)x<0時(shí)，f（x）＜ d2+2d恒成立，得出關(guān)于d的不等式，解不等式即可得到d的取值范圍.
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減；求函數(shù)的極值的方法是:（1）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值（2）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值才能正確解答此題．