Question

【題目】已知函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱(chēng)．
（1）求證：f（x）是周期為4的周期函數(shù)；
（2）若f（x）= （0＜x≤1），求x∈[﹣5，﹣4]時(shí)，函數(shù)f（x）的解析式．

Answer 1

【答案】
（1）證明：由函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱(chēng)，

有f（x+1）=f（1﹣x），即有f（﹣x）=f（x+2）．

又函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，故有f（﹣x）=﹣f（x）．

故f（x+2）=﹣f（x），從而f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x），

即f（x）是周期為4的周期函數(shù)

（2）解：由函數(shù)f （x）是定義在R上的奇函數(shù)，可知f（0）=0．

x∈[﹣1，0）時(shí)，﹣x∈（0，1]，f（x）=﹣f（﹣x）=﹣ ．

故x∈[﹣1，0]時(shí)，f（x）=﹣ ．

x∈[﹣5，﹣4]時(shí)，x+4∈[﹣1，0]，f（x）=f（x+4）=﹣ ．

從而，x∈[﹣5，﹣4]時(shí)，函數(shù)f（x）的解析式為f（x）=﹣

【解析】(1)由題意圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱(chēng)，得出f（﹣x）=f（x+2），再根據(jù)函數(shù)的奇偶性得到f（x+2）=﹣f（x）進(jìn)而f（x+4）=f（x）故得到周期。（2）當(dāng)x∈[﹣1，0）時(shí)，﹣x∈（0，1]，由函數(shù)的奇偶性得到f（x）=﹣f（﹣x）=- ,再根據(jù)函數(shù)的周期性得出x∈[﹣5，﹣4]時(shí)的函數(shù)f（x）的解析式。