Question

14．已知函數(shù)$f（x）=\sqrt{a{x^2}+bx}$滿足：對于實數(shù)a的某些值，可以找到相應正數(shù)b，使得f（x）的定義域與值域相同，那么符合條件的實數(shù)a的個數(shù)是2．

Answer 1

分析 由于函數(shù)解析式中，被開方式是一個類一元二次式，故我們可分a=0，a＞0和a＜0，三種情況，分別分析是否存在正實數(shù)b，使函數(shù)f（x）的定義域和值域相同，進而綜合討論結果，即可得到答案．

解答 解：（1）若a=0，則對于每個正數(shù)b，f（x）=$\sqrt{bx}$的定義域和值域都是[0，+∞）
故a=0滿足條件．
（2）若a＞0，則對于正數(shù)b，$f（x）=\sqrt{a{x^2}+bx}$的定義域為D=（-∞，-$\frac{a}$]∪[0，+∞），
但f（x）的值域A⊆[0，+∞），故D≠A，即a＞0不合條件；
（3）若a＜0，則對正數(shù)b，定義域D=[0，-$\frac{a}$]，（f（x））_max=$\frac{2\sqrt{-a}}$，
f（x）的值域為[0，$\frac{2\sqrt{-a}}$]，則-$\frac{a}$=$\frac{2\sqrt{-a}}$?$\left\{\begin{array}{l}{a＜0}\\{2\sqrt{-a}=-a}\end{array}\right.$．
綜上所述：a的值為0或-4．
故答案為2．

點評 本題考查的知識點是函數(shù)的定義域及其求法，函數(shù)的值域，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，其中熟練掌握一次函數(shù)和二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解答本題的關鍵，解答中易忽略a=0時，也滿足條件，而錯解為a=-4．