Question

9．已知某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的體積為$\frac{2}{3}$，它的表面積為$2+2\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 由已知中的三視圖，可得：該幾何體是一個以俯視圖為底面的三棱錐，代入錐體體積和表面積公式，可得答案．

解答 解：由已知中的三視圖，可得：該幾何體是一個以俯視圖為底面的三棱錐，
其直觀圖如下圖所示：

其底面ABC的面積為：$\frac{1}{2}$×2×2=2，
高VA=1，
故三棱錐的體積V=$\frac{2}{3}$，
AB=AC=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
故側面VAB和VAC的面積均為：$\frac{1}{2}×\sqrt{5}×1$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
側面VBC的高VD=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
故側面VBC的面積為：$\frac{1}{2}$×$2×\sqrt{5}$=$\sqrt{5}$，
故三棱錐的表面積為：$2+2\sqrt{5}$；
故答案為：$\frac{2}{3}$，$2+2\sqrt{5}$

點評 本題考查的知識點是棱錐的體積和表面積，簡單幾何體的三視圖，難度中檔．