Question

將函數(shù)y=sinπx在區(qū)間（0，+∞）內(nèi)的全部零點(diǎn)按從小到大的順序排成數(shù)列{a_n}．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）令b_n=2ⁿa_n，其中n∈N^*，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,正弦函數(shù)的圖象

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）求出函數(shù)的零點(diǎn)，得到數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，即可求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）求出b_n=2ⁿa_n，其中n∈N^*的通項(xiàng)公式，利用錯位相減法即可求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

解答： 解：（Ⅰ）由y=sinπx=0得，πx=nπ，即x=n，n∈N^•，
它在（0，+∞）內(nèi)的全部零點(diǎn)構(gòu)成以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，
則數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n=n．
（Ⅱ）∵b_n=2ⁿa_n=n•2ⁿ，
則數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n=1•2+2•2²+3•2³+…+（n-1）•2^n-1+n•2ⁿ，①
則2T_n=1•2²+2•2³+…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹，②
①-②得，-T_n=2+2²+2³+…+•2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹=

2(1-2n)

1-2

-n•2ⁿ⁺¹=（1-n）•2ⁿ⁺¹-2，
則T_n=2+（n-1）•2ⁿ⁺¹．

點(diǎn)評：本題主要考查等比數(shù)列的應(yīng)用及數(shù)列求和，根據(jù)錯位相減法是解決本題的關(guān)鍵．