Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，側面PAD⊥底面ABCD．
（Ⅰ）若E，F(xiàn)分別為PC，BD中點，求證：EF∥平面PAD；
（Ⅱ）求證：PA⊥CD；
（Ⅲ）若PA=PD=

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AD，求證：平面PAB⊥平面PCD．

Answer 1

考點：平面與平面垂直的判定,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關系與距離

分析：（Ⅰ）連結AC．由正方形性質得AC與BD互相平分，由三角形中位線定理得EF∥PA．由此能證明EF∥平面PAD．
（Ⅱ）由線面垂直得CD⊥AD，所以CD⊥面PAD．由此能證明PA⊥CD．
（Ⅲ）由勾股定理得PA⊥PD．再由PA⊥CD，得PA⊥平面PCD．由此能證明面PAB⊥平面PCD．

解答： （本小題滿分14分）
（Ⅰ）證明：如圖，連結AC．因為底面ABCD是正方形，
所以AC與BD互相平分．
又因為F是BD中點，所以F是AC中點．
在△PAC中，E是PC中點，F(xiàn)是AC中點，
所以EF∥PA．
又因為EF?平面PAD，PA?平面PAD，
所以EF∥平面PAD．…（4分）
（Ⅱ）證明：因為平面PAD⊥底面ABCD，
且平面PAD∩平面ABCD=AD，
又CD⊥AD，所以CD⊥面PAD．
又因為PA?平面PAD，
所以CD⊥PA．故PA⊥CD．…（9分）
（Ⅲ）證明：在△PAD中，因為PA=PD=

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AD，
所以PA⊥PD．
由（Ⅱ）可知PA⊥CD，且CD∩PD=D，
所以PA⊥平面PCD．
又因為PA?平面PAB，
所以面PAB⊥平面PCD．…（14分）

點評：本題考查直線與平面平行的證明，考查異面直線垂直的證明，考查平面與平面垂直的證明，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．