Question

四棱錐P-ABCD的底面是平行四邊形，平面PAB⊥平面ABCD，PA=PB=AB=

1

2

AD，∠BAD=60°，E，F(xiàn)分別為AD，PC的中點(diǎn)．
（1）求證：EF⊥平面PBD；
（2）若AB=2，求四棱錐P-ABCD的體積．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）取PB的中點(diǎn)G，連接FG，AG，不難證明四邊形EFGA是平行四邊形，則EF∥AG，又△PAB是等邊三角形，有AG⊥PB①；另外，可以通過計(jì)算得到BD⊥AB，結(jié)合著平面PAB⊥平面ABCD，得到DB⊥平面PAB，從而DB⊥AG②．由①②知，AG⊥平面PBD，于是EF⊥平面PBD．
（2）由平面PAB⊥平面ABCD，知四棱錐P-ABCD的高為正三角形PAB的高，再分別計(jì)算代入體積公式即可．

解答： 證明：（1）取PB的中點(diǎn)G，連接FG，AG，由題設(shè)，F(xiàn)G∥BC，F(xiàn)G=

1

2

BC，
∵AE∥BC，AE=

1

2

BC，∴EF∥AG．
△PAB是等邊三角形，AG⊥PB，①
△ABD中，AD=2AB，∠BAD=60°，由余弦定理，
BD²=AB²+AD²-2AB×AD×cos60°=AD²-AB²．
∴∠BAD=90°．
∴BD⊥AB．
又因?yàn)槠矫鍼AB⊥平面ABCD，BD⊥AB，
∴DB⊥平面PAB，
∴DB⊥AG．②
由①②可知，AG⊥PB，AG⊥BD
∴AG⊥平面PBD．
∴EF⊥平面PBD．
（2）∵AB=2，∴PA=PB=

1

2

AD=2．
又ABCD是平行四邊形，且∠BAD=60°，
故S_ABCD=2×4sin60°=4

3

，
又平面PAB⊥平面ABCD，
故四棱錐P-ABCD的高為正三角形PAB的高，即h=

3

．
∴四棱錐P-ABCD的體積為

1

3

×4

3

×

3

=4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查平面圖形與空間圖形的轉(zhuǎn)化，考查線面垂直的判斷，面面垂直的性質(zhì)及空間幾何體的體積計(jì)算等問題，考查學(xué)生的空間想象能力、推理能力和運(yùn)算能力，難度適中．