Question

設函數f（x）=a（x-1），g（x）=（x+b）lnx（a，b是實數，且a＞0）
（Ⅰ）若g（x）在其定義域內為單調增函數，求b的取值范圍；
（Ⅱ）當b=1時，若f（x）≤g（x）在[1，+∞）上恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性,利用導數求閉區(qū)間上函數的最值

專題：導數的綜合應用

分析：（Ⅰ）求函數的導數，利用g（x）在其定義域內為單調增函數，轉化為g′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立
，即可求b的取值范圍；
（Ⅱ）將不等式恒成立，轉化為求函數的最值問題，利用導數即可得到結論．

解答： 解：（Ⅰ）由題意得g′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，
即g′（x）=lnx+(x+b)

1

x

=lnx+1+

b

x

≥0在（0，+∞）上恒成立．
∴

b

x

≥-lnx-1（x＞0）．
∴b≥-xlnx-x．
令h（x）=-xlnx-x，只需b≥h（x）_max h′（x）=-lnx-1-1=-lnx-2．
令h′（x）＞0，得 0＜x＜e^-2．
令h′（x）＜0，得x＞e^-2．
∴h（x）在（0，e^-2）遞增，在（ e^-2，+∞）遞減．
∴h(x)max=h(e-2)=-e-2lne-2-e-2=e-2．
∴b≥e^-2．
（Ⅱ）當b=1時，a（x-1）≤（x+1）lnx在[1，+∞）上恒成立，
等價于lnx≥

a(x-1)

x+1

在[1，+∞）上恒成立，
令ϕ(x)=lnx-

a(x-1)

x+1

，
則ϕ（1）=0且ϕ′(x)=

1

x

-

2a

(x+1)2

=

x2+2(1-a)x+1

x(x+1)2

，
因x²項系數為1，則由△=4（1-a）²-4≤0，得0＜a≤2，
故當0＜a≤2時，ϕ′（x）≥0恒成立，
∴ϕ（x）在[1，+∞）上單調遞增．
∴ϕ（x）≥ϕ（1）=0，即ϕ（x）≥0在[1，+∞）上單調遞增．
當a＞2時，令ϕ′（x）=0，得x1=a-1+

a2-2a

x2=a-1-

a2-2a

．
∵a＞2，∴x₁＞1而x₂＜1

(?a-2＜ a2-2a  ?a2-4a+4＜a2-2a ?4＜2a)

，
∴x-(a-1-

a2-2a

)＞0，
故當x∈(1，a-1+

a2-2a

)時，ϕ'（x）＜0
∴?x0∈(1，a-1+

a2-2a

)使得ϕ（x₀）＜0
綜上可得0＜a≤2即為所求．

點評：本題主要考查函數單調性和最值與導數之間的關系，考查學生的運算能力，綜合性較強，難度較大．