【題目】已知為拋物線
上的兩個動點,點
在第一象限,點
在第四象限,
分別過點
且與拋物線
相切,
為
的交點.
(Ⅰ)若直線過拋物線
的焦點
,求證動點
在一條定直線上,并求此直線方程;
(Ⅱ)設(shè)為直線
與直線
的交點,求
面積的最小值.
【答案】(Ⅰ)證明見解析,;(Ⅱ)
.
【解析】
試題(I)利用直線與拋物線
相切,求出
方程,可得點
坐標,再求出直線
的方程,即要得結(jié)論;(II)求出
的坐標,可得
,表示
面積,利用導(dǎo)數(shù)法可求最小值.
試題解析:(Ⅰ)設(shè).
易知斜率存在,設(shè)為
,則方程為
由,得
……①
由直線與拋物線
相切,知
.
于是,
方程為
.
同理,方程為
.
聯(lián)立、
方程可得點
坐標為
,
∵,
方程為
,
過拋物線
的焦點
,
∴,
.
∴,點
在一條定直線
上.
或解:設(shè),則
方程為
,
方程為
.
點坐標滿足方程
,
∴直線方程為
,由直線
過點
,知
,
∴,點
在定直線
上
(Ⅱ)由(Ⅰ)知的坐標分別為
,
.
設(shè).
由知
,
當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.
∴.
設(shè),則
.
∴時,
;
時,
.
在區(qū)間
上為減函數(shù),在區(qū)間
上為增函數(shù).
∴時,
取最小值
.
∴當(dāng),即
時,
面積取最小值
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)(
).
(1)若,求
的導(dǎo)數(shù);
(2)討論的單調(diào)區(qū)間;
(3)設(shè),若對任意
,均存在
,使得
,求a的取值范圍.
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【題目】如圖,矩形的兩條對角線相交于點
,
邊所在直線的方程為
,點
在
邊所在的直線上.
(Ⅰ)求邊所在直線的方程;
(Ⅱ)求矩形外接圓的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知圓的方程為
,直線
的方程為
,點
在直線上,過點
作圓
的切線
,切點為
.
(1)若過點的坐標為
,求切線
方程;
(2)求四邊形面積的最小值;
(3)求證:經(jīng)過三點的圓必過定點,并求出所有定點坐標.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,有一直徑為8米的半圓形空地,現(xiàn)計劃種植甲、乙兩種水果,已知單位面積種植甲水果的經(jīng)濟價值是種植乙水果經(jīng)濟價值的5倍,但種植甲水果需要有輔助光照.半圓周上的處恰有一可旋轉(zhuǎn)光源滿足甲水果生長的需要,該光源照射范圍是
,點
在直徑
上,且
.
(1)若米,求
的長;
(2)設(shè), 求該空地產(chǎn)生最大經(jīng)濟價值時種植甲種水果的面積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列關(guān)于隨機變量及分布的說法正確的是( )
A.拋擲均勻硬幣一次,出現(xiàn)正面的次數(shù)是隨機變量
B.某人射擊時命中的概率為0.5,此人射擊三次命中的次數(shù)服從兩點分布
C.離散型隨機變量的分布列中,隨機變量取各個值的概率之和可以小于1
D.離散型隨機變量的各個可能值表示的事件是彼此互斥的
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)
是偶函數(shù),若方程
在區(qū)間
(其中
為自然對數(shù)的底)上有兩個不相等的實數(shù)根,則實數(shù)
的取值范圍是( )
A. B.
C.
D.
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【題目】已知橢圓的離心率是
,短軸的一個端點到右焦點的距離為
,直線
與橢圓
交于
兩點.
(1)求橢圓的方程;
(2)當(dāng)實數(shù)變化時,求
的最大值;
(3)求面積的最大值.
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【題目】根據(jù)某電子商務(wù)平臺的調(diào)查統(tǒng)計顯示,參與調(diào)查的1 000位上網(wǎng)購物者的年齡情況如圖所示.
(1)已知[30,40),[40,50),[50,60)三個年齡段的上網(wǎng)購物者人數(shù)成等差數(shù)列,求的值;
(2)該電子商務(wù)平臺將年齡在[30,50)內(nèi)的人群定義為高消費人群,其他年齡段的人群定義為潛在消費人群,為了鼓勵潛在消費人群的消費,該平臺決定發(fā)放代金券,高消費人群每人發(fā)放50元的代金券,潛在消費人群每人發(fā)放100元的代金券,現(xiàn)采用分層抽樣的方式從參與調(diào)查的1 000位上網(wǎng)購物者中抽取10人,并在這10人中隨機抽取3人進行回訪,求此3人獲得代金券總和(單位:元)的分布列與數(shù)學(xué)期望.
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