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7.已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)122,離心率為22,過(guò)橢圓C的右焦點(diǎn)F作垂直于x軸的直線與橢圓C相交于A,B兩點(diǎn),直線l:y=mx+n與橢圓C交于C,D兩點(diǎn),與線段AB相交于一點(diǎn)(與A,B不重合).
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)當(dāng)直線l與圓x2+y2=1相切時(shí),四邊形ACBD的面積是否有最大值?若有,求出最大值及對(duì)應(yīng)直線l的方程,若沒有,說(shuō)明理由.

分析 (Ⅰ)由題意列關(guān)于a,b,c的方程組,求解方程組可得a,b的值,則橢圓C的方程可求;
(Ⅱ)由已知求出AB的長(zhǎng)度,然后分m=0和m≠0討論,當(dāng)m≠0時(shí),由直線和圓相切得到m,n的關(guān)系,再聯(lián)立直線方程和橢圓方程,求出C,D的橫坐標(biāo),代入四邊形面積公式,利用基本不等式求得最值,并得到使四邊形ACBD的面積有最大值時(shí)的m,n的值,從而得到直線l的方程.

解答 解:(Ⅰ)由題意得,{1a2+122=1ca=22a2=2+c2,解得a2=2,b2=1,c2=1,
∴橢圓的方程為x22+y2=1
(Ⅱ)設(shè)C(x1,y1),D(x2,y2),
由已知得|AB|=2,當(dāng) m=0時(shí),不符合題意;
當(dāng)m≠0時(shí),由直線l與圓x2+y2=1相切,可得|n|m2+1=1,即m2+1=n2,
聯(lián)立{y=mx+nx22+y2=1,消去y,可得m2+12x2+2mnx+n21=0
△=4m2n24m2+12n21=2m20,
x1=2mn+2m22m2+1x2=2mn2m22m2+1,
SABCD=12|AB||x1x2|=2|m|2m2+1=22|m|+1|m|22
當(dāng)且僅當(dāng)m=±22時(shí)上式等號(hào)成立,此時(shí)n=±62
∴對(duì)應(yīng)的直線方程為2x+2y6=02x2y6=0

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓方程的求法,考查了直線與圓、圓與橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用,訓(xùn)練了利用基本不等式求最值,屬中檔題.

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組數(shù)分組低碳族
的人數(shù)
占本組
的頻率
1[25,30)1200.6
2[30,35)195P
3[35,40)1000.5
4[40,45)a0.4
5[45,50)300.3
6[50,55)150.3
(1)補(bǔ)全頻率分布直方圖,并求n,a,p的值;
(2)從[40,50)歲年齡段的“低碳族”中采用分層抽樣法抽取6人參加戶外低碳體驗(yàn)活動(dòng),其中選取3人作為領(lǐng)隊(duì),求選取的3名領(lǐng)隊(duì)中年齡都在[40,45)歲的概率.

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(Ⅰ)求n的值;
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