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2.已知橢圓C:x28+y2n=1的離心率為22,F(xiàn)是橢圓C的右焦點(diǎn).過點(diǎn)F且斜率為k(k≠0)的直線l與橢圓C交于A,B兩點(diǎn),O是坐標(biāo)原點(diǎn).
(Ⅰ)求n的值;
(Ⅱ)若線段AB的垂直平分線在y軸的截距為23,求k的值;
(Ⅲ)是否存在點(diǎn)P(t,0),使得PF為∠APB的平分線?若存在,求出t的值;若不存在,說明理由.

分析 (Ⅰ)運(yùn)用離心率公式和a,b,c的關(guān)系,可得n=4;
(Ⅱ)求得橢圓方程,設(shè)出直線AB的方程,代入橢圓方程,運(yùn)用韋達(dá)定理和中點(diǎn)坐標(biāo)公式,再由兩直線垂直的條件:斜率之積為-1,計(jì)算即可得到所求值;
(Ⅲ)假設(shè)存在點(diǎn)P(t,0),使得PF為∠APB的平分線,即有直線PA和PB的斜率之和為0,運(yùn)用韋達(dá)定理和斜率公式,化簡(jiǎn)整理,解方程可得t,即可判斷存在.

解答 解:(Ⅰ)由題意可得e=ca=22,a=22,
即有c=2,b=2,
即有n=4;
(Ⅱ)橢圓的方程為x28+y24=1,F(xiàn)(2,0),
直線AB的方程為y=k(x-2),代入橢圓方程可得
(1+2k2)x2-8k2x+8k2-8=0,
x1+x2=8k21+2k2,x1x2=8k281+2k2,
AB的中點(diǎn)為(4k21+2k2,k(4k21+2k2-2)),
即為(4k21+2k22k1+2k2),
由題意可得2k1+2k2234k21+2k2=-1k,解得k=1或12;
(Ⅲ)假設(shè)存在點(diǎn)P(t,0),使得PF為∠APB的平分線,
即有直線PA和PB的斜率之和為0,
即有y1x1t+y2x2t=0,由y1=k(x1-2),y2=k(x2-2),
即有2x1x2-(2+t)(x1+x2)+4t=0,
代入韋達(dá)定理,可得16k2161+2k2-(2+t)•8k21+2k2+4t=0,
化簡(jiǎn)可得t=4.
即有存在點(diǎn)P(4,0),使得PF為∠APB的平分線.

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的方程的求法,考查直線方程和橢圓方程聯(lián)立,運(yùn)用韋達(dá)定理和中點(diǎn)坐標(biāo)公式,同時(shí)考查直線的斜率公式的運(yùn)用,考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力,屬于中檔題.

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