Question

設 A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）是橢圓（a＞b＞0）上的兩點，O為坐標原點，向量且．
（1）若A點坐標為（a，0），求點B的坐標；
（2）設，證明點M在橢圓上；
（3）若點P、Q為橢圓 上的兩點，且，試問：線段PQ能否被直線OA平分？若能平分，請加以證明；若不能平分，請說明理由．

Answer 1

解：（1）將x₁=a，y₁=0代入（）•（）=0，得（1，0）•（）=0，
所以x₂=0，y₂=±b，即點B的坐標為（0，±b）．
（2）因（）•（）=0，所以，
又因A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）在橢圓上，所以，=（x₁cosθ+x₂sinθ，y₁cosθ+y₂sinθ）
把M點坐標代入橢圓方程左邊得：==cos²θ+sin²θ+2sinθcosθ×0=1所以點M在橢圓上．
（3）設點P（m₁，n₁）Q（m₂，n₂），則
且，
所以，
故有
即
又∥，而，得（A）
又由，得，（B）
所以由（A）（B）得，
即
故線段PQ被直線OA平分．
分析：（1）將x₁=a，y₁=0代入（）•（）=0，得（1，0）•（）=0，由此能求出點B的坐標．
（2）因（）•（）=0，所以，又因A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）在橢圓上，所以，=（x₁cosθ+x₂sinθ，y₁cosθ+y₂sinθ），由此能夠證明所以點M在橢圓上．
（3）設點P（m₁，n₁）Q（m₂，n₂），則，且，，所以，故，由此能夠導出線段PQ被直線OA平分．
點評：本題考查直線和圓錐曲線的位置關系，解題時要認真審題，注意合理地進行等價轉化．