Question

函數(shù)（x∈R）．
（1）求函數(shù)f（x）的值域；
（2）判斷并證明函數(shù)f（x）的單調性；
（3）證明f（-x）=-f（x）；
（4）對f（x），當x∈（-1，1）時，有f（1-m）+f（1-m²）＜0 求m值的集合M．

Answer 1

解：（1）f（x）=1-，
因為2^x＞0，所以0＜＜2，-2＜-＜0，
所以-1＜1-＜1，即-1＜f（x）＜1，
所以函數(shù)f（x）的值域為（-1，1）．
（2）f（x）為增函數(shù)，下面證明：
設x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=（）-（1-）=，
因為x₁＜x₂，所以，
所以f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
所以函數(shù)f（x）為增函數(shù)；
證明：（3）f（-x）====-f（x），
所以原式成立；
（4）f（1-m）+f（1-m²）＜0?f（1-m）＜-f（1-m²），
由（3）知-f（1-m²）=f（m²-1），
所以f（1-m）＜f（m²-1），
又由（2）知f（x）單調遞增，
所以有，解得1＜m．
所以實數(shù)m的集合M={m|1＜m}．
分析：（1）f（x）=1-，利用指數(shù)函數(shù)的值域及不等式的性質即可求得函數(shù)值域；
（2）根據(jù)函數(shù)單調性的定義即可判斷證明；
（3）利用分式性質對f（-x）進行變形即可得到與f（x）的關系；
（4）利用函數(shù)的單調性及（3）的結論，可把該抽象不等式轉化為具體二次不等式，注意考慮定義域，解不等式組即可；
點評：本題考查函數(shù)的奇偶性、單調性及其應用，考查抽象不等式的求解，考查學生分析解決問題的能力，解決本題的關鍵是利用函數(shù)性質把抽象不等式轉化為具體不等式，體現(xiàn)了轉化思想．