Question

5．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為2的正方形，側面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AD
（1）求證：平面PAB⊥平面PDC．
（2）求點C到平面PBD的距離．

Answer 1

分析 （1）由已知求解三角形可得PD⊥AP，結合面面垂直的性質可得AB⊥PD，再由線面垂直的判定可得PD⊥平面PAB，再由面面垂直的判定得平面PAB⊥平面PDC；
（2）利用等體積法求點C到平面PBD的距離．

解答 （1）證明：∵AD=2，∴$PA=PD=\sqrt{2}$，則PA²+PD²=AD²，得PD⊥AP，
又∵平面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴AB⊥平面PAD，又PD?平面PAD，
∴AB⊥PD，
又∵AP∩AB=A，且AP、AB?平面PAB，∴PD⊥平面PAB，
又PD?平面PDC，∴平面PAB⊥平面PDC；
（2）解：△PBD中，∵$PD=\sqrt{2}，PB=\sqrt{6}，BD=2\sqrt{2}$，∴PD²+PB²=BD²，
∴∠DPB=90°，則${S_{△PBD}}=\frac{1}{2}PD•PB=\sqrt{3}$，且S_△BCD=2，
又P到平面BCD的距離h=1，
∴V_C-PBD=V_P-BCD=$\frac{1}{3}{S_{△BCD}}•h$=$\frac{1}{3}×2×1$=$\frac{2}{3}$，
∴C到平面PBD的距離=$\frac{{3{V_{C-PBD}}}}{{{S_{△PBD}}}}=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$．

點評 本題考查平面與平面垂直的判定，考查空間想象能力和思維能力，訓練了利用等積法求多面體的體積，是中檔題．