Question

已知橢圓的中心為坐標原點O，焦點在x軸上，斜率為1且過橢圓右焦點F的直線交橢圓于A、B兩點，與a＝(3，－1)共線．

(1)求橢圓的離心率；

(2)設M為橢圓上任意一點，且(λ，μ∈R)，證明λ²＋μ²為定值．

Answer 1

答案：
解析：

思路解析：本題只要根據(jù)題意先假設出橢圓的方程，再由題意將相關的直線方程表示出來，聯(lián)立將方程消去一個未知數(shù)，再由根與系數(shù)間的關系，從而將問題解決． 　　解：設橢圓方程為＝1(a＞b＞0)，F(xiàn)(c，0)， 　　則直線AB的方程為y＝x－c，代入＝1， 　　化簡得(a2＋b2)x2－2a2cx＋a2c2－a2b2＝0． 　　令A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝，x1x2＝， 　　由＝(x1＋x2，y1＋y2)，a＝(3，－1)，與a共線，得 　　3(y1＋y2)＋(x1＋x2)＝0． 　　又y1＝x1－c，y2＝x2－c， 　　∴3(x1＋x2－2c)＋(x1＋x2)＝0． 　　∴x1＋x2＝，即． 　　∴a2＝3b2． 　　∴c＝． 　　故離心率為e＝． 　　(2)證明：由(1)知a2＝3b2， 　　∴橢圓＝1可化為x2＋3y2＝3b2． 　　設＝(x，y)，由已知得(x，y)＝λ(x1，y1)＋μ(x2，y2)， 　　∴ 　　∵M(x，y)在橢圓上， 　　∴(λx1＋μx2)2＋3(λy1＋μy2)2＝3b2， 　　即λ2(x12＋3y2)＋μ(x22＋3y22)＋2λμ(x1x2＋3y1y2)＝3b2　�、� 　　由(1)知x1＋x2＝，a2＝，b2＝． 　　∴x1x2＝． 　　∴x1x2＋3y1y2＝x1x2＋3(x1－c)(x2－c)＝4x1x2－3(x1＋x2)c＋3c2＝＝0． 　　又x12＋3y12＝3b2，x22＋3y22＝3b2， 　　代入①得λ2＋μ2＝1，故λ2＋μ2為定值，定值為1．