分析:(1)要證AA
1⊥BC
1.只需證AA
1⊥面BDC
1,只需證AA
1垂直于面BDC
1內(nèi)的兩條相交直線,設(shè)AA
1中點為D,根據(jù)A
1B=AB,可得BD⊥AA
1,利用側(cè)面ABB
1A
1⊥AA
1C
1C,可得BD⊥面AA
1C
1C.根據(jù)△ACC
1為正三角形,AC
1=C
1A
1,可得C
1D⊥AA
1,從而得證;
(2)由(1),有BD⊥C
1D,BC
1⊥CC
1,CC
1⊥面C
1DB,設(shè)點A
1到平面ABC的距離為h,利用等面積有
hS△ABC=VB-CAC1=VB-CDC1=
VC-C1DB,從而可求點A
1到平面ABC的距離.
解答:(1)證明:設(shè)AA
1中點為D,連BD,CD,C
1D,AC
1.
因為A
1B=AB,所以BD⊥AA
1.--------------------------2分
因為側(cè)面ABB
1A
1⊥AA
1C
1C,所以BD⊥面AA
1C
1C.----------4分
又△ACC
1為正三角形,AC
1=C
1A
1,所以C
1D⊥AA
1.------6分
所以AA
1⊥面BDC
1,
所以AA
1⊥BC
1.----------------------------8分
(2)解:由(1),有BD⊥C
1D,BC
1⊥CC
1,CC
1⊥面C
1DB
設(shè)點A
1到平面ABC的距離為h,則
hS△ABC=VB-CAC1=VB-CDC1=
VC-C1DB.
因為
BD=C1D=,CC
1=1
∴
VC-C1DB=CC1×S△C1DB=
,
∵
CC1=1,BC1=,
∴
BC=∵AB=AC=1,
∴
S△ABC=∴
h=.
即點A
1到平面ABC的距離為
.----14分
點評:本題以三棱柱為載體,考查線面垂直的判定與性質(zhì),考查點面距離的求法,解題的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)換底面,利用體積相等求解.