Question

對(duì)于二項(xiàng)式（1-x）¹⁰．求：
（1）展開(kāi)式的中間項(xiàng)是第幾項(xiàng)？寫(xiě)出這一項(xiàng)；
（2）求展開(kāi)式中除常數(shù)項(xiàng)外，其余各項(xiàng)的系數(shù)和；
（3）寫(xiě)出展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)．

Answer 1

分析：（1）由題意可知：r=0，1，2…11，展開(kāi)式共11項(xiàng)，所以 中間項(xiàng)為第6項(xiàng)，利用二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式求出第6項(xiàng)即可；
（2）設(shè)（1-x）¹⁰=a₀+a₁x+…a₁₀x¹⁰通過(guò)賦值法即可求得所求的其余各項(xiàng)的系數(shù)和a₁+…a₁₀=-1，
（3）展開(kāi)式中中間項(xiàng)T₆的系數(shù)為負(fù)，從而得出展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)T₅和T₇，利用二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式求出第5，7項(xiàng)即可．

解答：解：（1）由題意可知：r=0，1，2…11，展開(kāi)式共11項(xiàng)，
所以 中間項(xiàng)為第6項(xiàng)：T₆=C₁₀⁵（-x）⁵=-252x⁵…（4分）
（2）設(shè)（1-x）¹⁰=a₀+a₁x+…a₁₀x¹⁰
令x=1得：a₀+a₁+…a₁₀=0；
令x=0得：a₀=1；
所求的其余各項(xiàng)的系數(shù)和a₁+…a₁₀=-1，
（3）展開(kāi)式中中間項(xiàng)T₆的系數(shù)為負(fù)，
∴展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)T₅和T₇，
T₅=C₁₀⁴x⁴=210x⁴=T₇．

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式解決二項(xiàng)展開(kāi)式的特定項(xiàng)問(wèn)題、考查二項(xiàng)式定理展開(kāi)式共n+1項(xiàng)，二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式是解決二項(xiàng)展開(kāi)式的特定項(xiàng)問(wèn)題的工具．