Question

對于二項(xiàng)式（1-x）¹⁰，求：
（1）求展開式中的二項(xiàng)式系數(shù)和；
（2）展開式的中間項(xiàng)是第幾項(xiàng)？寫出這一項(xiàng)；
（3）求展開式中除常數(shù)項(xiàng)外，其余各項(xiàng)的系數(shù)和．

Answer 1

分析：（1）二項(xiàng)式的展開式中的二項(xiàng)式系數(shù)和為

C

0 10

+

C

1 10

+

C

2 10

+…+

C

10 10

=2¹⁰，運(yùn)算求得結(jié)果．
（2）此展開式共有11項(xiàng)，它的中間項(xiàng)是第6項(xiàng)，再由通項(xiàng)公式求得它的值．
（3）設(shè)二項(xiàng)式（1-x）¹⁰ =a₀+a₁x+a₂x²+…+a₁₀x¹⁰，令x=1，可得 a₀+a₁+a₂+…+a₁₀=0，令x=0，可得a₀=1，從而求得 a₁+a₂+…+a₁₀ 的值，即為所求．

解答：解：（1）對于二項(xiàng)式（1-x）¹⁰，展開式中的二項(xiàng)式系數(shù)和為

C

0 10

+

C

1 10

+

C

2 10

+…+

C

10 10

=2¹⁰=1024．
（2）此展開式共有11項(xiàng)，它的中間項(xiàng)是第6項(xiàng)，為 T₆=

C

5 10

•（-x）⁵=-252x⁵．
（3）設(shè)二項(xiàng)式（1-x）¹⁰ =a₀+a₁x+a₂x²+…+a₁₀x¹⁰，
令x=1，可得 a₀+a₁+a₂+…+a₁₀=0，
令x=0，可得a₀=1，∴a₁+a₂+…+a₁₀=-1，即 展開式中除常數(shù)項(xiàng)外，其余各項(xiàng)的系數(shù)和為-1．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，注意根據(jù)題意，分析所給代數(shù)式的特點(diǎn)，通過給二項(xiàng)式的x賦值，求展開式的系數(shù)和，可以簡便的求出答案，屬于中檔題．