Question

已知函數(shù)f（x）=ln

1-ax

x-1

（a≠1）是奇函數(shù)．
（1）求實(shí)數(shù)a的值；
（2）求證：函數(shù)g（x）=f（x）-2x在區(qū)間[

9

8

，

5

4

]上有唯一零點(diǎn)（參考數(shù)據(jù)：ln3≈1.099，ln17≈2.833）

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的零點(diǎn),函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）利用奇函數(shù)的定義、對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則即可得出．
（2）先判定函數(shù)g（x）的單調(diào)性，再利用函數(shù)零點(diǎn)存在定理即可得出．

解答： （1）解：∵函數(shù)f（x）=ln

1-ax

x-1

（a≠1）為奇函數(shù)，
∴f（-x）+f（x）=ln

1+ax

-x-1

+ln

1-ax

x-1

=ln

1-a2x2

1-x2

=0，
∴

1-a2x2

1-x2

=1，∴a²=1且a≠1，解得a=-1．
∴f（x）=ln

x+1

x-1

．
經(jīng)過驗(yàn)證滿足題意．
（2）證明：函數(shù)g（x）=f（x）-2x=ln

x+1

x-1

-2x=ln(1+

2

x-1

)-2x在區(qū)間[

9

8

，

5

4

]上單調(diào)遞減，
且g(

9

8

)=ln17-

9

4

＞0，g(

5

4

)=2ln3-

5

2

＜0，
∴g(

9

8

)•g(

5

4

)＜0，
因此函數(shù)g（x）在區(qū)間(

9

8

，

5

4

)由零點(diǎn)且有唯一零點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了奇函數(shù)的定義、對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則、函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)零點(diǎn)存在定理，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．