Question

某產(chǎn)品按行業(yè)生產(chǎn)標準分成8個等級，等級系數(shù)ξ依次為1，2，…，8，其中ξ≥5為標準A，ξ≥3為標準B，產(chǎn)品的等級系數(shù)越大表明產(chǎn)品的質(zhì)量越好，已知某廠執(zhí)行標準B生產(chǎn)該產(chǎn)品，且該廠的產(chǎn)品都符合相應的執(zhí)行標準．
（1）從該廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機抽取30件，相應的等級系數(shù)組成一個樣本，數(shù)據(jù)如下：
3　 5　 3　 3　 8　 5　 5　 6　 3　 4
6　 3　 4　 7　 5　 3　 4　 8　 5　 3
8　 3　 4　 3　 4　 4　 7　 5　 6　 7
該行業(yè)規(guī)定產(chǎn)品的等級系數(shù)ξ≥7的為一等品，等級系數(shù)5≤ξ＜7的為二等品，等級系數(shù)3≤ξ＜5的為三等品，試分別估計該廠生產(chǎn)的產(chǎn)品的一等品率、二等品率和三等品率；
（2）已知該廠生產(chǎn)一件該產(chǎn)品的利潤y（單位：元）與產(chǎn)品的等級系數(shù)ξ的關(guān)系式為：，從該廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中任取一件，其利潤記為X，用這個樣本的頻率分布估計總體分布，將頻率視為概率，求X的分布列和數(shù)學期望．

Answer 1

解：（1）由樣本數(shù)據(jù)知，30件產(chǎn)品中等級系數(shù)ξ≥7有6件，即一等品有6件，二等品有9件，三等品有15件-----------------------------------------------------------（3分）
∴樣本中一等品的頻率為，故估計該廠生產(chǎn)的產(chǎn)品的一等品率為0.2--------（4分）
二等品的頻率為，故估計該廠生產(chǎn)的產(chǎn)品的二等品率為0.3；--------------（5分）
三等品的頻率為，故估計該廠生產(chǎn)的產(chǎn)品的三等品的頻率為0.5．----------（6分）
（2）∵X的可能取值為：1，2，4
用樣本的頻率分布估計總體分布，將頻率視為概率，由（1）
可得P（X=1）=0.5，P（X=2）=0.3，P（X=4）=0.2--（8分）
∴可得X的分布列如下：----------------------------------------------------（10分）

X	1	2	4
P（X）	0.5	0.3	0.2

其數(shù)學期望EX=1×0.5+2×0.3+4×0.2=1.9（元）-----------------------------（12分）
分析：（1）由樣本數(shù)據(jù)，結(jié)合行業(yè)規(guī)定，確定一等品有6件，二等品有9件，三等品有15件，即可估計該廠生產(chǎn)的產(chǎn)品的一等品率、二等品率和三等品率；
（2）確定X的可能取值為：1，2，4，用樣本的頻率分布估計總體分布，將頻率視為概率，可得X的分布列，從而可求數(shù)學期望．
點評：本題考查統(tǒng)計知識，考查離散型隨機變量的分布列與期望，解題時利用樣本的頻率分布估計總體分布，將頻率視為概率．