Question

求函數(shù)f（x）=sinx+cosx+sinxcosx，x∈R的最值及取到最值時(shí)x的值．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)的最值

專題：計(jì)算題,三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：令t=sinx+cosx∈[-

2

，

2

]，則函數(shù)即y=

1

2

（t+1）²-1，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得函數(shù)的最值和對(duì)應(yīng)的x的值．

解答： 解：令t=sinx+cosx=

2

sin（x+

π

4

）∈[-

2

，

2

]，
則有 t²=1+2sinxcosx，即有sinxcosx=

t2-1

2

，
故函數(shù)y=sinx+cosx+sinxcosx=t+

t2-1

2

=

1

2

（t+1）²-1，
∴當(dāng)t=-1即x=2kπ+π或2kπ+

3π

2

（k∈Z）時(shí)，函數(shù)取得最小值為-1，
當(dāng)t=

2

，即x=2kπ+

π

4

（k∈Z）時(shí)，函數(shù)取得最大值為

2

+

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查求三角函數(shù)的最值，二次函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．