Question

已知某年級1000名學生的百米跑成績全部介于13秒與18秒之間，為了了解學生的百米跑成績情況，隨機抽取了若干學生的百米跑成績，并按如下方式分成五組：第一組[13，14）；第二組[14，15）；…；第五組[17，18]．按上述分組方法得到的頻率分布直方圖如圖所示，已知圖中從左到右的前3個組的頻率之比為1：4：10，且第二組的頻數(shù)為8．
（Ⅰ）請估計該年級學生中百米跑成績在[16，17）內的人數(shù)；
（Ⅱ）求調查中隨機抽取了多少個學生的百米成績；
（Ⅲ）若從第一和第五組所有成績中隨機取出2個，求這2個成績差的絕對值大于1秒的概率．

Answer 1

考點：列舉法計算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率,頻率分布直方圖

專題：概率與統(tǒng)計

分析：（Ⅰ）先求出百米成績在[16，17）內的頻率，再用頻率乘以樣本容量，可得該年段學生中百米成績在[16，17）內的人數(shù)．
（Ⅱ）設圖中從左到右前3個組的頻率分別為x，4x，10x 依題意，根據(jù)各組的頻率之和等于1，求得x的值．設調查中隨機抽取了n 個學生的百米成績，則4×0.04=

8

n

，求得n的值．
（Ⅲ）百米成績在第一組的學生數(shù)有2人，記他們的成績?yōu)閍，b，百米成績在第五組的學生數(shù)有4人，記他們的成績?yōu)閙，n，p，q，則從第一、五組中隨機取出兩個成績包含的基本事件有15個，其中滿足條件的基本事件有8個，由此求得所求事件的概率．

解答： 解：（Ⅰ）百米成績在[16，17）內的頻率為0.32×1=0.32，0.32×1000=320，
∴估計該年段學生中百米成績在[16，17）內的人數(shù)為320人．
（Ⅱ）設圖中從左到右前3個組的頻率分別為x，4x，10x 依題意，
得 x+4x+10x+0.32×1+0.08×1=1，∴x=0.04．
設調查中隨機抽取了n 個學生的百米成績，則4×0.04=

8

n

∴n=50
∴調查中隨機抽取了50個學生的百米成績．
（Ⅲ）百米成績在第一組的學生數(shù)有1×0.04×1×50=2，記他們的成績?yōu)閍，b
百米成績在第五組的學生數(shù)有0.08×1×50=4，記他們的成績?yōu)閙，n，p，q
則從第一、五組中隨機取出兩個成績包含的基本事件有
{a，b}，{a，m}，{a，n}，{a，p}，{a，q}，{b，m}，{b，n}，{b，p}，{b，q}，{m，n}，{m，p}，{m，q}，{n，p}，{n，q}，{p，q}，共15個．
設事件A為滿足成績的差的絕對值大于1秒，則事件A所包含的基本事件有{a，m}，{a，n}，{a，p}，
{a，q}，{b，m}，{b，n}，{b，p}，{b，q}，共8個，
所以P（A ）=

8

15

．

點評：本試題主要考查樣本估計總體，考查古典概型的概率公式，考查頻率分布直方圖等知識，考查數(shù)據(jù)處理能力和分析問題、解決問題的能力，屬于基礎題．