17.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且${S}_{n}={2}^{n+1}-2$.
(Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)設(shè)bn=log2a1+log2a2+…+log2an,求使(n-8)bn≥nk對任意n∈N+恒成立的實(shí)數(shù)k的取值范圍.

分析 (I)利用遞推關(guān)系即可得出;
(II)利用對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)、等差數(shù)列的求和公式可得bn,代入利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出.

解答 解:(Ⅰ)∵${S}_{n}={2}^{n+1}-2$.∴n=1時(shí),a1=2.
n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=2n+1-2-(2n-2)=2n,n=1時(shí)也成立.
∴an=2n
(Ⅱ)bn=log2a1+log2a2+…+log2an=$lo{g}_{2}({2}^{1+2+…+n})$=$\frac{n(n+1)}{2}$,
(n-8)bn≥nk,即(n-8)×$\frac{n(n+1)}{2}$≥nk,化為:k≤$\frac{(n-8)(n+1)}{2}$,
而f(n)=$\frac{(n-8)(n+1)}{2}$=$\frac{1}{2}(n-\frac{7}{2})^{2}$-$\frac{77}{8}$,
當(dāng)n=3或4時(shí),f(n)取得最小值,f(3)=-10.
∴使(n-8)bn≥nk對任意n∈N+恒成立的實(shí)數(shù)k的取值范圍是(-∞,-10].

點(diǎn)評 本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、等差數(shù)列的定義通項(xiàng)公式及其求和公式、二次函數(shù)的單調(diào)性,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

7.如圖所示的程序后輸出的結(jié)果為7.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

8.已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且4a1,2a2,a3依次等差數(shù)列,若a1=1,則S5=(  )
A.16B.31C.32D.63

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

5.已知P為雙曲線$\frac{{x}^{2}}{9}-\frac{{y}^{2}}{16}=1$上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)M是圓(x+5)2+y2=4上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)N是圓(x-5)2+y2=1上的動(dòng)點(diǎn),則|PM|-|PN|的最大值是9.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

12.若某圓柱體的上部挖掉一個(gè)半球,下部挖掉一個(gè)圓錐后所得的幾何體的三視圖中的正(主)視圖和側(cè)(左)視圖如圖所示,則此幾何體的表面積是( 。
A.(4+$\sqrt{2}$)πB.6$π+2\sqrt{2}π$C.6$π+\sqrt{2}π$D.(8+$\sqrt{2}$)π

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

2.若函數(shù)y=ksin(kx+φ)(k>0,|φ|<$\frac{π}{2}$)與函數(shù)y=kx-k2+6的部分圖象如圖所示,則函數(shù)f(x)=sin(kx-φ)+cos(kx-φ)圖象的一條對稱軸的方程可以為( 。
A.x=-$\frac{π}{24}$B.x=$\frac{37π}{24}$C.x=$\frac{17π}{24}$D.x=-$\frac{13π}{24}$

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

9.已知a∈R,函f(x)=x3-ax2+ax+a,g(x)=f(x)+(a-3)x.
(1)求證:曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線過定點(diǎn);
(2)若g(1)是g(x)在區(qū)間(0,3]上的極大值,但不是最大值,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(3)求證:對任意給定的正數(shù)b,總存在a∈(3,+∞),使得g(x)在$(\frac{a}{3},\frac{a+b}{3})$上為單調(diào)函數(shù).

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

6.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn=2n2-30n.
(1)這個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列嗎?求出它的通項(xiàng)公式;
(2)求使得Sn最小的序號n的值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

7.在區(qū)間[0,9]內(nèi)任取兩個(gè)數(shù),則這兩個(gè)數(shù)的平方和也在[0,9]內(nèi)的概率為$\frac{π}{36}$.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案