Question

設函數(shù)f（x）=2x-cosx，{a_n}是公差為

π

8

的等差數(shù)列，f（a₁）+f（a₂）+…+f（a₅）=5π，則[f（a₃）]²-a₁a₅=（　　）

• A、0
• B、

  1

  16

  π2
• C、

  1

  8

  π2
• D、

  13

  16

  π2

Answer 1

考點：等差數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：f（x）=2x-cosx⇒f（a₁）+f（a₂）+…+f（a₅）=2（a₁+a₂+…+a₅）-（cosa₁+cosa₂+…+cosa₅），而{a_n}是公差為

π

8

的等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的性質(zhì)可得a₁+a₂+…+a₅=5a₃，由和差化積公式可得，cosa₁+cosa₂+…+cosa₅=（cosa₁+cosa₅）+（cosa₂+cosa₄）+cosa₃=cosa₃（1+

2

+

2+ 2

），依題意知cosa₁+cosa₂+…+cosa₅的結(jié)果不含π，f（a₁）+f（a₂）+…+f（a₅）=5π⇒cosa₃=0，故a₃=

π

2

，于是可求得答案．

解答： 解：∵f（x）=2x-cosx，
∴f（a₁）+f（a₂）+…+f（a₅）=2（a₁+a₂+…+a₅）-（cosa₁+cosa₂+…+cosa₅），
∵{a_n}是公差為

π

8

的等差數(shù)列，
∴a₁+a₂+…+a₅=5a₃，由和差化積公式可得，
cosa₁+cosa₂+…+cosa₅
=（cosa₁+cosa₅）+（cosa₂+cosa₄）+cosa₃
=[cos（a₃-

π

8

×2）+cos（a₃+

π

8

×2）]+[cos（a₃-

π

8

）+cos（a₃+

π

8

）]+cosa₃
=2cosa₃•cos

π

4

+2cosa₃•cos（-

π

8

）+cosa₃=cosa₃（1+

2

+

2+ 2

），
則cosa₁+cosa₂+…+cosa₅的結(jié)果不含π，
又∵f（a₁）+f（a₂）+…+f（a₅）=5π，
∴cosa₃=0，故a₃=

π

2

．
[f（a₃）]²-a₁a₅=π²-（

π

2

-2•

π

8

）•

3π

4

=

13

16

π2．
故選：D．

點評：本題考查等差數(shù)列的通項公式與性質(zhì)的應用，考查兩角和與差的余弦，求得a₃=

π

2

是關(guān)鍵，考查轉(zhuǎn)化思想與綜合運算能力，屬于難題．