Question

已知等比數(shù)列{a_n}中，a₁=64，公比q≠1，a₂，a₃，a₄又分別是某等差數(shù)列的第7項(xiàng)、第3項(xiàng)和第1項(xiàng)．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)b_n=log₂a_n，求數(shù)列{|b_n|}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等差數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知條件，利用等比數(shù)列和等差數(shù)列的通項(xiàng)公式推導(dǎo)出2a₁q³-3a₁q²+a₁q=0，由此能求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（2）由（1）和對(duì)數(shù)運(yùn)算法則推導(dǎo)出b_n=7-n，由此能求出|b_n|的前n項(xiàng)和．

解答： 解：（1）∵等比數(shù)列{a_n}中，a₁=64，公比q≠1，
a₂，a₃，a₄又分別是某等差數(shù)列的第7項(xiàng)、第3項(xiàng)和第1項(xiàng)，
∴a₂-a₄=3（a₃-a₄），
即2a₁q³-3a₁q²+a₁q=0，
∴2q²-3q+1=0．
∵q≠1，
∴q=

1

2

，
∴a_n=64×（

1

2

）^n-1
（2）∵a_n=64×（

1

2

）^n-1，
∴b_n=log₂a_n=log₂[64×（

1

2

）^n-1]=7-n
∴|b_n|=

7-n，n≤7 n-7，n＞7

．
當(dāng)n≤7時(shí)，Tn=

n

2

(6+7-n)=

n(13-n)

2

．
當(dāng)n＞7時(shí)，T_n=T₇+

(n-7)(n-6)

2

=21+

(n-7)(n-6)

2

，
∴T_n=

n(13-n) 2 ，n≤7 21+ (n-7)(n-6) 2 ，n＞7

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意分類討論思想的合理運(yùn)用．