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【題目】設函數.

（Ⅰ）求證：當時，；

（Ⅱ）存在，使得成立，求a的取值范圍；

（Ⅲ）若對恒成立，求b的取值范圍.

【答案】（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）或.

【解析】

（Ⅰ）轉化求函數g（x）在（0，π]上的最大值，利用函數的導數判斷單調性進而求解；

（Ⅱ）依題意即轉化為求函數f（x）在（0，π]上的最小值，利用函數的導數判斷單調性進而求解；

（Ⅲ）先表示出函數g（bx），將恒成立問題轉化為函數求最值問題，利用函數的導數判斷單調性進而求解，注意b的范圍的討論．

（Ⅰ）因為當時，，

所以在上單調遞減，

又，所以當時，.

（Ⅱ）因為，

所以，

由（Ⅰ）知，當時，，所以，

所以在上單調遞減，則當時，

由題意知，在上有解，所以，從而.

（Ⅲ）由，得對恒成立，

①當，0，1時，不等式顯然成立.

②當時，因為，所以取，

則有，此時不等式不恒成立.

③當時，由（Ⅱ）可知在上單調遞減，而，

，

成立.

④當時，當時，，

則，不成立，

綜上所述，當或時，有對恒成立.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖所示，某城市有一條從正西方AO通過市中心O后向東北OB的公路，現要修一條地鐵L，在OA，OB上各設一站A，B，地鐵在AB部分為直線段，現要求市中心O與AB的距離為，設地鐵在AB部分的總長度為．

按下列要求建立關系式：

設，將y表示成的函數；

設，用m，n表示y．

把A，B兩站分別設在公路上離中心O多遠處，才能使AB最短？并求出最短距離．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】若函數滿足：對于任意正數、，都有，，且，則稱函數為“函數”.

（1）試判斷函數與是否是“函數”；

（2）若函數為“函數”，求實數的取值范圍；

（3）若函數為“函數”，且，求證：對任意，都有.

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【題目】已知函數.

（Ⅰ）討論的單調性；

（Ⅱ）若有兩個零點，求的取值范圍.

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【題目】已知橢圓的左右焦點分別為點．為橢圓上的一動點，面積的最大值為．過點的直線被橢圓截得的線段為，當軸時，．

(1)求橢圓的方程；

(2)橢圓上任取兩點A，B，以，為鄰邊作平行四邊形．若，則是否為定值？若是，求出定值；如不是，請說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知函數.

（1）當時，求函數的最小值；

（2）當時，求函數的單調區(qū)間；

（3）當時，設函數，若存在區(qū)間，使得函數在上的值域為，求實數的最大值.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖，已知四邊形為梯形，，，四邊形為矩形，且平面平面，又，.

（1）求證：；

（2）求點到平面的距離.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知函數，.

（1）若，判斷的奇偶性，并說明理由；

（2）若，求在上的最小值；

（3）若，且有三個不同實根，求的取值范圍.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知函數，，為自然對數的底數.

（1）當時，證明：，；

（2）若函數在上存在兩個極值點，求實數的取值范圍.

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