Question

已知拋物線C₁：y²=4x，雙曲線C₂：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），若C₁的焦點恰為C₂的右焦點，則2a+b的最大值為

 

．

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質(zhì)

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：求出拋物線的焦點，可得雙曲線的c=1，a²+b²=1，令a=cosα，b=sinα（0＜α＜

π

2

），運用兩角和的正弦公式，結(jié)合正弦函數(shù)的值域即可得到最大值．

解答： 解：拋物線C₁：y²=4x的焦點為（1，0），
即有雙曲線的右焦點為（1，0），
即c=1，a²+b²=1，
令a=cosα，b=sinα（0＜α＜

π

2

），
則2a+b=2cosα+sinα=

5

（

2

5

cosα+

1

5

sinα）
=

5

sin（α+θ）（θ在第一象限，且tanθ=2），
當(dāng)α+θ=

π

2

時，sin（α+θ）取得最大值1，
即有2a+b取得最大值

5

．
故答案為：

5

．

點評：本題考查拋物線和雙曲線的方程和性質(zhì)，同時考查三角換元和正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，運用兩角和的正弦公式是解題的關(guān)鍵．