Question

已知S_n是數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，a_n＞0，且S_n=

an2+an

2

（n∈N^*）
（Ⅰ）求證數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{b_n}滿足b_n=

1

Sn

，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等差數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由已知條件推導(dǎo)出a_n²-a_n-a_n-1²+a_n-1=0，從則得到（a_n-a_n-1-1）（a_n+a_n-1）=0，由此能證明{a_n}是首項(xiàng)為1公差為1的等差數(shù)列．
（Ⅱ）由{a_n}是首項(xiàng)為1公差為1的等差數(shù)列，得S_n=

n(n+1)

2

，b_n=

1

Sn

=

2

n(n+1)

=2（

1

n

-

1

n+1

），由此利用裂項(xiàng)求和法能求出數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和．

解答： 解：（Ⅰ）∵S_n=

an2+an

2

（n∈N^*），
∴2S_n=a_n+a_n²，
當(dāng)n≥2時(shí)，有a_n=S_n-S_n-1=

an2+an

2

-

an-12+an-1

2

，
化簡(jiǎn)得到：a_n²-a_n-a_n-1²+a_n-1=0，
∴（a_n-a_n-1-1）（a_n+a_n-1）=0
∵a_n＞0，∴a_n-a_n-1-1=0，
∴a_n=a_n-1+1，
又a1=S1=

a12+a1

2

，解得a₁=1，
∴{a_n}是首項(xiàng)為1公差為1的等差數(shù)列．
（Ⅱ）∵{a_n}是首項(xiàng)為1公差為1的等差數(shù)列，
∴S_n=

n(n+1)

2

，b_n=

1

Sn

=

2

n(n+1)

=2（

1

n

-

1

n+1

），
設(shè)數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n，
則T_n=2(1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

)
=2（1-

1

n+1

）
=

2n

n+1

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列的證明，考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意裂項(xiàng)求和法的合理運(yùn)用．