已知
a
=3
i
-4
j
，
a
+
b
=4
i
-3
j
，
i
與
j
為相互垂直的單位向量．
（1）求向量
a
，
b
的夾角；
（2）對(duì)非零向量
p
，
q
，如果存在不為零的常數(shù)α，β使α
p
+β
q
=
0
，那么稱向量
p
，
q
是線性相關(guān)的，否則稱向量
p
，
q
是線性無關(guān)的．向量
a
，
b
是線性相關(guān)還是線性無關(guān)？為什么？
考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算
專題：平面向量及應(yīng)用
分析：（1）由題意求得
b
=
i
+
j
，可得|
a
|、|
b
|、
a
•
b
 的值，再由 cos＜
a
，
b
＞=
a
•
b
|
a
|•|
b
|
 求得＜
a
，
b
＞的值．
（2）設(shè)α•
a
+β•
b
=0，求得α=β=0，從而得出結(jié)論．
解答： 解：（1）由題意知
a
=3
i
-4
j
，
a
+
b
=4
i
-3
j
 可得
b
=4
i
-3
j
-
a
=
i
+
j
，
∴|
a
|=
9+16
=5，|
b
|=
2
，
a
•
b
=（3
i
-4
j
）•（
i
+
j
）=-1，
∴cos＜
a
，
b
＞=
a
•
b
|
a
|•|
b
|
=
-1
5
2
=-
2
10
，∴＜
a
，
b
＞=π-arccos
2
10
．
（2）設(shè)α•
a
+β•
b
=0，可得α（3
i
-4
j
）+β（
i
+
j
）=0，
即 （3α+β）
i
+（β-4α）
j
=0，∴
3α+β=0
β-4α=0
，解得α=β=0，
故不存在不為零的常數(shù)α，β使α
a
+β
b
=
0
，故向量
a
，
b
是線性無關(guān)．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查用兩個(gè)向量的數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角，兩個(gè)向量線性相關(guān)的定義，屬于基礎(chǔ)題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知正方形ABCD的對(duì)角線AC與BD相交于E點(diǎn)，將△ABC沿對(duì)角線AC折起，使得平面ABC⊥平面ADC（如圖），則下列命題中正確的為（　�。�
A、直線AB⊥直線CD，且直線AC⊥直線BD
B、直線AB⊥平面BCD，且直線AC⊥平面BDE
C、平面ABC⊥平面BDE，且平面ACD⊥平面BDE
D、平面ABD⊥平面BCD，且平面ACD⊥平面BDE

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的和Sn=2n2-n+1，求an．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x2+alnx．
（1）當(dāng)a=-2e時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若函數(shù)g（x）=f（x）-2x在[1，4]上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在銳角△ABC中，已知內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，向量
m
=（2sin（A+C），-
3
），
n
=（cos2B，2cos2
B
2
-1），且向量
m
，
n
共線．
（1）求角B的大小；
（2）如果b=1，求△ABC的面積S△ABC的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，an＞0，且Sn=
an2+an
2
（n∈N*）
（Ⅰ）求證數(shù)列{an}是等差數(shù)列；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{bn}滿足bn=
1
Sn
，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在（1-x）6（1+x+x2）的展開式中，x2的系數(shù)為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn，已知a1=1，a2=2，a3=3，且（4n-3）Sn+1-（4n+5）Sn=αn+β（n∈N*），其中α，β為常數(shù)．
（1）求α，β的值；
（2）證明數(shù)列{an}為等差數(shù)列；
（3）設(shè)bn=a1a2+a2a3+…+anan+1，求和
(a2+a3)
b1(β)a1
+
(a3+a4)
b2(β)a2
+…+
(an+1+an+2)
bn(β)an
（n∈N*）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=2sin2xcos2
φ
2
+cos2xsinφ-sin2x（0＜φ＜π）圖象的一條對(duì)稱軸為x=
π
3
．
（Ⅰ）求φ的值；
（Ⅱ）若存在x0∈[-
π
3
，
π
6
]使得|f（x0）-m|≤
1
2
成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（Ⅲ）已知函數(shù)g（x）=|f（
ωx
2
-
5π
12
）|+|cosωx|在區(qū)間[0，1]上恰有50次取到最大值，求正數(shù)ω的取值范圍．

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