Question

已知函數(shù)f（x）=x²+alnx．
（1）當(dāng)a=-2e時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若函數(shù)g（x）=f（x）-2x在[1，4]上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞）．當(dāng)a=-2e時(shí)，f′（x）=

2(x- e )(x+ e )

x

，從而f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（0，

e

） 單調(diào)遞增區(qū)間是（

e

，+∞）．
（2）由g（x）=x²+alnx-2x，得g′（x）=2x+

a

x

-2，從而g′（x）≤0在[1，4]上恒成立，即a≤2x-2x²在[1，4]上恒成立． 設(shè)h（x）=2x-2x²，所以h（x）的最小值為h（4）=-24，得a的取值范圍是a≤-24．

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞）．
當(dāng)a=-2e時(shí)，f′（x）=

2(x- e )(x+ e )

x

，

當(dāng)f′(x)＞0時(shí)，x＞ e 當(dāng)f′(x)＜0時(shí)，0＜x＜ e

，
∴f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（0，

e

） 單調(diào)遞增區(qū)間是（

e

，+∞）．
（2）由g（x）=x²+alnx-2x，
得g′（x）=2x+

a

x

-2，
又函數(shù)g（x）為[1，4]上的單調(diào)減函數(shù)，
則g′（x）≤0在[1，4]上恒成立，
所以不等式2x+

a

x

-2≤0在[1，4]上恒成立，
即a≤2x-2x²在[1，4]上恒成立． 
設(shè)h（x）=2x-2x²，
顯然h（x）在[1，4]上為減函數(shù)，
所以h（x）的最小值為h（4）=-24，
∴a的取值范圍是a≤-24．

點(diǎn)評：本題考察了函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，求參數(shù)的范圍，是一道中檔題．