Question

【題目】已知拋物線的方程為， 為其焦點，過不在拋物線上的一點作此拋物線的切線， 為切點.且.

（Ⅰ）求證：直線過定點；

（Ⅱ）直線與曲線的一個交點為，求的最小值.

Answer 1

【答案】(Ⅰ)證明見解析；(Ⅱ) .

【解析】試題分析：（Ⅰ）設直線的方程為，設， ，由消去得，根據(jù)韋達定理，結(jié)合導數(shù)的結(jié)合意義可得這兩條切線的斜率分別為， .由這兩切線垂直得，從而可得結(jié)論；（Ⅱ）設，則， ， ， ， ，利用導數(shù)求出的最小值即可.

試題解析：（Ⅰ）設直線的方程為，設，

以為切點的切線方程分別為， .

由消去得.

則， .

這兩條切線的斜率分別為， .

由這兩切線垂直得，得.

所以直線恒過定點.

（Ⅱ）設，則， ，

當時，則，可得，

當時，則， ， ，

同樣可得.

所以.

由.

所以 .

令， .

.

所以在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù).

所以.

（或 當時取等號.）