Question

如圖，一輛車(chē)要通過(guò)某十字路口，直行時(shí)前方剛好由綠燈轉(zhuǎn)為紅燈．該車(chē)前面已有4輛車(chē)依次在同一車(chē)道上排隊(duì)等候（該車(chē)道只可以直行或左轉(zhuǎn)行駛）．已知每輛車(chē)直行的概率為

2

3

，左轉(zhuǎn)行駛的概率

1

3

．該路口紅綠燈轉(zhuǎn)換隔均為1分鐘．假設(shè)該車(chē)道上一輛直行的車(chē)駛出停車(chē)線(xiàn)需要10秒，一輛左轉(zhuǎn)行駛的車(chē)駛出停車(chē)線(xiàn)需要20秒．求：
（1）前面4輛車(chē)恰有2輛左轉(zhuǎn)行駛的概率為多少？
（2）該車(chē)在第一次綠燈亮起的1分鐘內(nèi)能通過(guò)該十字路口的概率（汽車(chē)駛出停車(chē)線(xiàn)就算通過(guò)路口）；
（3）假設(shè)每次由紅燈轉(zhuǎn)為綠燈的瞬間，所有排隊(duì)等候的車(chē)輛都同時(shí)向前行駛，求該車(chē)在這十字路口停車(chē)等候的時(shí)間的數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,相互獨(dú)立事件的概率乘法公式

專(zhuān)題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（1）利用n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)事件A恰好發(fā)生k的概率計(jì)算公式能求出前面4輛車(chē)恰有2輛左轉(zhuǎn)行駛的概率．
（2）該車(chē)在第一次綠燈亮起的1分鐘內(nèi)能通過(guò)該十字路口，則前4輛車(chē)最多只能有1輛左轉(zhuǎn)行駛，由此能求出其概率．
（3）設(shè)該車(chē)在十字路口停車(chē)等候時(shí)間為t，由已知得t=1，3，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出該車(chē)在這十字路口停車(chē)等候的時(shí)間的數(shù)學(xué)期望．

解答： 解：（1）前面4輛車(chē)恰有2輛左轉(zhuǎn)行駛的概率：
p=

C

2 4

(

2

3

)2(

1

3

)2=

8

27

．
（2）該車(chē)在第一次綠燈亮起的1分鐘內(nèi)能通過(guò)該十字路口，
則前4輛車(chē)最多只能有1輛左轉(zhuǎn)行駛，
其概率為：

C

4 4

(

2

3

)4+

C

3 4

(

2

3

)3(

1

3

)=

16

27

．
（3）設(shè)該車(chē)在十字路口停車(chē)等候時(shí)間為t，
若前4輛車(chē)最多只有一輛左轉(zhuǎn)行駛，則可在綠燈亮?xí)r通過(guò)路口，t=1，
若前4車(chē)有2輛以上左轉(zhuǎn)行駛，則必須再等1分釧且可在綠燈第2次亮?xí)r通守路口，t=3，
故t=1，3
t=1，其概率為

16

27

，
t=3時(shí)，其概率為1-

16

27

=

11

27

，
∴該車(chē)在這十字路口停車(chē)等候的時(shí)間的數(shù)學(xué)期望：
Et=1×

16

27

+3×

11

27

=

49

27

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題．