Question

已知拋物線C的頂點在原點，焦點在x軸上，且拋物線上有一點P（4，m）到焦點的距離為5．
（1）求拋物線C的方程；
（2）已知點A（4，0），M是拋物線上除頂點外的動點，是否存在垂直于x軸的直線l被以MA為直徑的圓所截得的弦長恒為定值？如果存在，求出l的方程；如果不存在，說明理由．

Answer 1

考點：拋物線的應用

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）由題意設：拋物線方程為y²=2px，其準線方程為x=-

p

2

，根據拋物線的大于可得：4+

p

2

=5，進而得到答案；
（2）設存在直線m：x=a滿足題意，則圓心M（

x1+4

2

，

y1

2

），過M作直線x=a的垂線，垂足為E，設直線m與圓M的一個交點為G，可得：|EG|²=|MG|²-|ME|²=（a-3）x₁+4a-a²，由此可得結論．

解答： 解：（1）由題意設拋物線方程為y²=2px（p＞0），其準線方程為x=-

p

2

，
∵P（4，m）到焦點的距離等于A到其準線的距離，
∴4+

p

2

=5，∴∴p=2，
∴拋物線C的方程為y²=4x；
（2）設存在直線m：x=a滿足題意，則圓心M（

x1+4

2

，

y1

2

），過M作直線x=a的垂線，垂足為E，
設直線m與圓M的一個交點為G，可得：|EG|²=|MG|²-|ME|²，…（9分）
即|EG|²=|MA|²-|ME|²=

(x1-4)2+y12

4

-(

x1+4

2

-a)2
=

1

4

y12+

(x1-4)2-(x1+4)2

4

+a(x1+4)-a2
=x1-4x1+a(x1+4)-a2
=（a-3）x₁+4a-a²…（11分）
當a=3時，|EG|²=3，此時直線m被以AP為直徑的圓M所截得的弦長恒為定值2

3

．…（12分）
因此存在直線m：x=3滿足題意 …（13分）

點評：本題主要考查拋物線的標準方程，考查直線與拋物線的位置關系，考查弦長的計算，解題的關鍵是聯立方程，利用韋達定理求解，屬于中檔題．