Question

已知數(shù)列{a_n}的通項公式為a_n=pn+q，其中p，q是常數(shù)，且p≠0．
（Ⅰ）數(shù)列{a_n}是否一定是等差數(shù)列？如果是，其首項與公差是什么？
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且S₁₀=310，S₂₀=1220，試確定a_n的公式．

Answer 1

考點：等差數(shù)列的性質(zhì),等差數(shù)列的前n項和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）直接由a_n+1-a_n為常數(shù)判斷數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，并求得公差，在通項公式中取n=1求得首項；
（Ⅱ）把數(shù)列的前n項和用含有p和q的代數(shù)式表示，代入S₁₀=310，S₂₀=1220求解p，q的值，則數(shù)列的通項公式可求．

解答： 解：（Ⅰ）∵a_n=pn+q，
∴a_n+1-a_n=[p（n+1）+q]-（pn+q）=pn+p+q-pn-q=p，
∴{a_n}是等差數(shù)列，且公差為p．
在通項公式中令n=1，得a₁=p+q，
∴這個等差數(shù)列的首項是p+q，公差是p；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知{a_n}是等差數(shù)列，S₁₀=310，S₂₀=1220，將它們代入公式Sn=

n(a1+an)

2

=

n[(p+q)+(pn+q)]

2

=

n(pn+p+2q)

2

，
得

5(11p+2q)=310 10(21p+2q)=1 220.

⇒

p=6 q=-2.

∴a_n=6n-2．

點評：本題主要考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，通過對等差數(shù)列的研究，培養(yǎng)學生主動探索、勇于發(fā)現(xiàn)的求知精神；養(yǎng)成細心觀察、認真分析、善于總結(jié)的良好思維習慣，要熟練記憶等差數(shù)列的通項公式和求和公式，是中檔題．