Question

如圖，在直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，點(diǎn)M是A₁B的中點(diǎn)，點(diǎn)N是B₁C的中點(diǎn)，連接MN

（Ⅰ）證明：MN//平面ABC；
（Ⅱ）若AB=1，AC=AA₁=，BC=2，求二面角A—A₁C—B的余弦值的大小

Answer 1

（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）；

試題分析：（Ⅰ）主要利用線線平行可證線面平行；（Ⅱ）通過(guò)作平行線轉(zhuǎn)化到三角形內(nèi)解角；當(dāng)然也可建系利用空間向量來(lái)解；
試題解析：（Ⅰ）證明：連接AB₁，
∵四邊形A₁ABB₁是矩形，點(diǎn)M是A₁B的中點(diǎn)，
∴點(diǎn)M是AB₁的中點(diǎn)；∵點(diǎn)N是B₁C的中點(diǎn)，
∴MN//AC，∵M(jìn)N平面ABC，AC平面ABC，
∴MN//平面ABC        6分
（Ⅱ）解 ：（方法一）如圖，作，交于點(diǎn)D，

由條件可知D是中點(diǎn)，連接BD，∵AB=1，AC=AA₁=，BC=2，
∴AB²＋AC²= BC²，∴AB⊥AC，
∵AA₁⊥AB，AA₁∩AC=A，∴AB⊥平面
∴AB⊥A₁C, ∴A₁C⊥平面ABD，∴∴為二面角A—A₁C—B的平面角，在， ， ，
在等腰中，為中點(diǎn)，， ∴中，，
中，，
∴二面角A——B的余弦值是    12分
（方法二） 三棱柱為直三棱柱，
∴，，，
， ∴，∴
如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，

則A(0,0,0), B(0,1,0), C(,0,0), A₁(0,0,)，
如圖，可取為平面的法向量，
設(shè)平面的法向量為，
則,，
則由又
，不妨取m=1，則，
可求得，      12分