Question

如圖，ABCD是邊長為3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE=3AF，BE與平面ABCD所成角為60°．
（Ⅰ）求證：AC⊥平面BDE；
（Ⅱ）求平面BEF與平面BED夾角的余弦值．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）由已知得DE⊥AC，AC⊥BD，由此能證明AC⊥平面BDE．
（Ⅱ）以D為原點建立空間直角直角坐標(biāo)系D-xyz，利用向量法能求出平面BEF與平面BED夾角的余弦值．

解答： （Ⅰ）證明：因為DE⊥平面ABCD，
所以DE⊥AC，（2分）
因為ABCD是正方形，所以AC⊥BD，
又DE∩BD=D，所以AC⊥平面BDE．（4分）
（Ⅱ）解：因為DA，DC，DE兩兩垂直，
所以以D為原點建立空間直角直角坐標(biāo)系D-xyz，
因為BE與平面ABCD所成角為60°，
即∠BDE=60°，（6分）所以

ED

DB

=

3

．
由AD=3可知DE=3

6

，AF=

6

則A（3，0，0），F(xiàn)（3，0，

6

），E（0，0，3

6

），
B（3，3，0），C（0，3，0），
所以

BF

=(0，-3，

6

)，

EF

=(3，0，-2

6

)
設(shè)平面BEF的法向量為

n

=(x，y，z)，
則

n • BF =0 n • EF =0

，即

-3y+ 6 z=0 3x-2 6 z=0

，
令z=

6

，則

n

=(4，2，

6

)
因為AC⊥平面BDE，所以

CA

為平面BDE的法向量，

CA

=(3，-3，0)，
所以cos＜

n

，

CA

＞=

n • CA

| n || CA |

=

6

3 2 × 26

=

13

13

．
所以平面BEF與平面BED夾角的余弦為

13

13

．（12分）

點評：本題考查直線與平面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．