Question

四棱錐P-ABCD中，PD⊥面ABCD，底面ABCD是菱形，且PD=DA=2，∠CDA=60°，過(guò)點(diǎn)B作直線l∥PD，Q為直線l上一動(dòng)點(diǎn)
（1）求證：QP⊥AC；
（2）當(dāng)二面角Q-AC-P的大小為120°時(shí)，求QB的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：二面角的平面角及求法,棱錐的結(jié)構(gòu)特征

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）由已知得PD⊥AC，AC⊥BD，從而AC⊥平面PDBQ，由此能證明AC⊥PQ．
（2）設(shè)AC和BD的交點(diǎn)為O，連結(jié)OP，OQ，則∠POD是二面角P-AC-D的平面角，∠POQ是二面角P-AC-Q的平面角，∠POQ=120°，由此利用余弦定理能求出QB．

解答： （1）證明：∵PD⊥面ABCD，AC?面ABCD，∴PD⊥AC，
又菱形ABCD中，兩對(duì)角線垂直，即AC⊥BD，又BD∩PD=D，
∴AC⊥平面PDBQ，∴AC⊥PQ．
（2）解：△PAC和△QAC都是以AC為底的等腰三角形，
設(shè)AC和BD的交點(diǎn)為O，連結(jié)OP，OQ，
則∠POD是二面角P-AC-D的平面角，
由tan∠POD=

2

3

＜

3

，得二面角P-AC-B大小120°，
∴點(diǎn)Q與點(diǎn)P在平面ABCD的同側(cè)，如圖所示，
∴∠POQ是二面角P-AC-Q的平面角，∴∠POQ=120°，
在Rt△POD中，OP=

7

，設(shè)QB=x，
則Rt△OBQ中，OQ=

x2+3

，
在直角梯形PDBQ中，PQ=

(2-x)2+(2 3 )2

=

x2-4x+16

，
在△POQ中，由余弦定理得PQ=

7(x 2+3)

=6-4x，
故6-4x＞0，且3x²-16x+5=0，
解得x=

1

3

，即QB=

1

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查異面直線垂直的證明，考查線段長(zhǎng)的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．