在直三棱柱
中,
="2" ,
.點
分別是
,
的中點,
是棱
上的動點.
(I)求證:
平面
;
(II)若
//平面
,試確定
點的位置,
并給出證明;
(III)求二面角
的余弦值.
【
(1)見解析;(2)見解析;(3)
.
本題考查了線面平行與垂直及二面角的求法。第一問抓住線面垂直的判定定理須證
,
;第二問先說明
是棱
的中點,再,取
的中點H,證明四邊形
為平行四邊形,由線面平行的判定定理得證;第三問利用法向量求二面角
的余弦值,要注意法向量的準確求解和余弦值的正負。
解:(I) 證明:∵在直三棱柱
中,
,點
是
的中點,
∴
…………………………1分
,
,
∴
⊥平面
………………………2分
平面
∴
,即
…………………3分
又
∴
平面
…………………………………4分
(II)當
是棱
的中點時,
//平面
.……………………………5分
證明如下:
連結(jié)
,取
的中點H,連接
,
則
為
的中位線
∴
∥
,
…………………6分
∵由已知條件,
為正方形
∴
∥
,
∵
為
的中點,
∴
……………………7分
∴
∥
,且
∴四邊形
為平行四邊形
∴
∥
又 ∵
∴
//平面
……………………8分
(III)∵直三棱柱
且
依題意,如圖:以
為原點建立空間直角坐標系
,……………………9分
,
,
,
,
則
,
設(shè)平面
的法向量
,
則
,即
,
令
,有
……………………10分
又
平面
的法向量為
,
=
=
, ……………………11分
設(shè)二面角
的平面角為
,且
為銳角
. ……………………12分.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題
科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
如圖,在三棱錐
中,
,
為
的中點,
平面
,垂足
落在線段
上,已知
。
(Ⅰ)證明:
;
(Ⅱ)在線段
上是否存在點M,使得二面角
為直二面角?若存在,求
出AM的長;若不存在,請說明理由。(12分)
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
如圖,在三棱錐
中,
底面
,
點
,
分別在棱
上,且
(Ⅰ)求證:
平面
;
(Ⅱ)當
為
的中點時,求
與平面
所成的角的大小;
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
如圖,在直三棱柱
中, AB=1,
,
∠ABC=60
.
(1)證明:
;
(2)求二面角A—
—B的正切值。
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
已知
。求證:
。
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:單選題
三棱錐
P-
ABC中∠
ABC=90°,
PA=
PB=
PC,則下列說法正確的是
A.平面PAC⊥平面ABC | B.平面PAB⊥平面PBC |
C.PB⊥平面ABC | D.BC⊥平面PAB |
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:填空題
在棱長為1的正方體ABCD—A
1B
1C
1D
1中,點P是它的體對角線BD
1上一動點,則|AP|+|PC|的最小值是_________
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
已知平面四邊形
的對角線
交于點
,
,且
,
,
.現(xiàn)沿對角線
將三角形
翻折,使得平面
平面
.翻折后: (Ⅰ)證明:
;(Ⅱ)記
分別為
的中點.①求二面角
大小的余弦值; ②求點
到平面
的距離
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