Question

如圖，在三棱錐中，，為的中點(diǎn)，平面，垂足落在線段上，已知。
（Ⅰ）證明：；
（Ⅱ）在線段上是否存在點(diǎn)M，使得二面角為直二面角？若存在，求
出AM的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說明理由。（12分）

Answer 1

見解析

第一問中，利用由，D是BC的中點(diǎn)，得，又平面ABC，得，因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140823/20140823214354628628.png" style="vertical-align:middle;" />，所以平面PAD，故‘利用線面垂直的性質(zhì)定理得到。
第二問中，利用在平面PAB內(nèi)作于M，連接CM，由（1）中知，得平面BMC，
又平面APC，所以平面平面APC，在中，，得，在中，。
在中，。
所以，得
在中，，得
又。
從而
所以綜上所述，存在點(diǎn)M符合題意AM=3
（1）證明：由，D是BC的中點(diǎn)，得，
又平面ABC，得，因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140823/20140823214354628628.png" style="vertical-align:middle;" />，
所以平面PAD，故………….4分
（2）解：如圖，在平面PAB內(nèi)作于M，連接CM，由（1）中知，得平面BMC，
又平面APC，所以平面平面APC，……….6分，
在中，，得，
在中，。
在中，。
所以，得
在中，，得
又。
從而………….10分
所以
綜上所述，存在點(diǎn)M符合題意AM=3。…………12分