Question

已知點P是雙曲線y²-

x2

3

=1上任意一點，過點P分別作兩漸近線的垂線，垂足分別為A、B，則線段|AB|的最小值為

 

．

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質(zhì)

專題：計算題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：設(shè)P（m，n），則n²-

m2

3

=1，求出雙曲線的漸近線方程，求得P到漸近線的距離，由漸近線的傾斜角結(jié)合條件可得∠APB=180°-120°=60°，運用余弦定理，可得|AB|的表達式，化簡整理，再由雙曲線的性質(zhì)，即可得到最小值．

解答： 解：設(shè)P（m，n），則n²-

m2

3

=1，
雙曲線y²-

x2

3

=1的漸近線方程為y=±

3

3

x
設(shè)|PA|=

| 3 3 m-n|

1+ 1 3

=

|m- 3 n|

2

，
|PB|=

|m+ 3 n|

2

，
由于∠AOB=120°，
則∠APB=180°-120°=60°，
由余弦定理可得|AB|²=|PA|²+|PB|²-2|PA|•|PB|cos60°，
即有|AB|²=

(m- 3 n)2

4

+

(m+ 3 n)2

4

-2×

|m- 3 n|

2

×

|m+ 3 n|

2

×

1

2

=

2(m2+3n2)

4

-

|m2-3n2|

4

=

2m2+6n2-(3n2-m2)

4

=

3(m2+n2)

4

=

3

4

（1+

4

3

m²）≥

3

4

（當m=0時取得等號），
則有|AB|的最小值為

3

2

．
故答案為：

3

2

．

點評：本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，主要考查漸近線方程的運用，同時考查點到直線的距離公式和余弦定理的運用，屬于中檔題．