Question

【題目】已知函數(shù)，（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.

（1）討論函數(shù)在定義域內(nèi)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；

（2）設(shè)直線為函數(shù)的圖象上一點(diǎn)處的切線，證明：在區(qū)間上存在唯一的，使得直線與曲線相切.

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)無(wú)極值點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)（2）證明見解析

【解析】

（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得，令，分類討論有無(wú)零點(diǎn)以及零點(diǎn)與、的相對(duì)位置即可得解；

（2）由題意可得切線的方程可表示為，設(shè)直線與曲線相切于點(diǎn)，由題意可得，進(jìn)而可得，由（1）中結(jié)論即可證明在上存在唯一的根，即可得證.

（1）由題意且，

則，

令，，

①當(dāng)即時(shí)，，

此時(shí)，在和單調(diào)遞增，無(wú)極值點(diǎn)；

②當(dāng)時(shí)，即當(dāng)或時(shí)，

函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，

，，

（i）當(dāng)時(shí)，

因?yàn)?/span>，

所以，

所以函數(shù)在單調(diào)遞增，在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，此時(shí)函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)；

（ii）當(dāng)時(shí)，因?yàn)?/span>，

所以，此時(shí)，在和單調(diào)遞增，無(wú)極值點(diǎn).

綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)無(wú)極值點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn).

（2）證明：因?yàn)?/span>，所以切線的方程可表示為，

設(shè)直線與曲線相切于點(diǎn)，

因?yàn)?/span>，所以，

消去并整理得，

由（1）可知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在單調(diào)遞增，

又，.

所以函數(shù)在上有唯一的零點(diǎn)，

又因?yàn)?/span>在單調(diào)遞增，

所以方程在上存在唯一的根，

故在區(qū)間上存在唯一的，使得直線與曲線相切.