Question

已知關(guān)于x的方程x³+ax²+bx+c=0的三個(gè)實(shí)根可作為一個(gè)橢圓、一條雙曲線和一條拋物線的離心率，則

b-1

a+1

的取值范圍為

 

．

Answer 1

分析：依題意可知方程有一個(gè)根是1，進(jìn)而可設(shè)x³+ax²+bx+c=0=（x-1）（x²+mx+n）根據(jù)多項(xiàng)式恒等的充要條件，的方程組，聯(lián)立后可求得m和n，進(jìn)而可構(gòu)造函數(shù)f（x）=x²+mx+n，則可知f（x）=0的兩個(gè)根x₁，x₂分別作為橢圓和雙曲線的離心率，根據(jù)判別式大于0，令a為橫軸，b為縱軸，建立平面直角坐標(biāo)系，作出這三個(gè)不等式所對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域S，設(shè)P（a，b）是平面區(qū)域S內(nèi)的任意一點(diǎn)，A（-1，1），則可知

b-1

a+1

的幾何意義是直線的斜率，進(jìn)而可求得范圍．

解答：解：依題意，關(guān)于x的方程 x³+ax²+bx+c=0有一個(gè)根是1
所以可設(shè)x³+ax²+bx+c=0=（x-1）（x²+mx+n）
根據(jù)多項(xiàng)式恒等的充要條件，得
m-1=a①
n-m=b②
n+c=0③
�、佗趦墒铰�(lián)立得
m=a+1，n=a+b+1
構(gòu)造函數(shù) f（x）=x²+mx+n 即 f（x）=x²+（a+1）x+（a+b+1）
依題意f（x）=0的兩個(gè)根x₁，x₂分別作為橢圓和雙曲線的離心率
故 0＜x₁＜1＜x₂
根據(jù)一元二次方程根的分布，可得關(guān)于實(shí)系數(shù)a，b的約束條件：
判別式=（a+1）²-4（a+b+1）=（a-1）²-4b-4＞0
f（0）=a+b+1＞0，f（1）=2a+b+3＜0
令a為橫軸，b為縱軸，建立平面直角坐標(biāo)系，作出這三個(gè)不等式所對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域S，
設(shè)P（a，b）是平面區(qū)域S內(nèi)的任意一點(diǎn)，A（-1，1），k=

b-1

a+1

則k的幾何意義是直線PA的斜率．
作圖，得-2＜k＜0
故答案為（-2，0）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了圓錐曲線的綜合知識(shí)．涉及到了函數(shù)的根的分布，多項(xiàng)式恒等等知識(shí)．屬中檔題．