Question

已知關(guān)于x的方程x³+ax²+bx+c=0的三個(gè)實(shí)根分別為一個(gè)橢圓，一個(gè)拋物線，一個(gè)雙曲線的離心率，則

b

a

的取值范圍

-2＜

b

a

＜-

1

2

．

Answer 1

分析：令f（x）=x³+ax²+bx+c，把x=1，y=0代入函數(shù)解析式求得a+b+c的值，進(jìn)而可得f（x）=（x-1）（x²+x+1）+a（x+1）（x-1）+b（x-1）的形式，設(shè)g（x）=x²+（a+1）x+1+a+b橢圓和雙曲線的離心率的范圍確定兩根的范圍確定g（0）＞0，g（1）＜0，最后利用線性規(guī)劃求得

b

a

的取值范圍．

解答：解：令f（x）=x³+ax²+bx+c
∵拋物線的離心率為1，∴1是方程f（x）=x³+ax²+bx+c=0的一個(gè)實(shí)根
∴a+b+c=-1
∴c=-1-a-b代入f（x）=x³+ax²+bx+c，
可得f（x）=x³+ax²+bx-1-a-b=（x-1）（x²+x+1）+a（x+1）（x-1）+b（x-1）=（x-1）[x²+（a+1）x+1+a+b]
設(shè)g（x）=x²+（a+1）x+1+a+b，則g（x）=0的兩根滿足0＜x₁＜1，x₂＞1
∴g（0）=1+a+b＞0，g（1）=3+2a+b＜0
作出可行域，如圖所示

b

a

的幾何意義是區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率，
∴-2＜

b

a

＜-

1

2

故答案為：-2＜

b

a

＜-

1

2

點(diǎn)評(píng)：本題考查一元二次方程的根的分布與系數(shù)的關(guān)系，簡單線性規(guī)劃，考查計(jì)算能力．