Question

甲、乙兩容器中分別盛有兩種濃度的某種溶液300mL，從甲容器中取出100mL溶液，將其倒入乙容器中攪勻，再從乙容器中取出100mL溶液，將其倒入甲容器中攪勻，這稱為是一次調(diào)和，已知第一次調(diào)和后，甲、乙兩種溶液的濃度分別記為：a₁=20%，b₁=2%，第n次調(diào)和后的甲、乙兩種溶液的濃度分別記為：a_n，b_n．
（Ⅰ）請用a_n，b_n分別表示a_n+1和b_n+1；
（Ⅱ）問經(jīng)過多少次調(diào)和后，甲乙兩容器中溶液的濃度之差小于0.1%．

Answer 1

考點：數(shù)列的應用

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由題意，第n次調(diào)和后的甲、乙兩種溶液的濃度分別記為：a_n，b_n，從而可用a_n，b_n分別表示a_n+1和b_n+1；
（Ⅱ）由于題目中的問題是針對濃度之差，所以，我們不妨直接考慮數(shù)列{a_n-b_n}．由（I）可得數(shù)列{a_n-b_n}是以a₁-b₁=18%為首項，以

1

2

為公比的等比數(shù)列，令a_n-b_n＜0.1%，即可得出結(jié)論．

解答： 解：（I）由題意可設在第一次調(diào)和后的濃度為a₁=20%，b₁=2%，bn+1=

100an+300bn

(100+300)

=

1

4

an+

3

4

bn；
an+1=

100bn+1+200an

(100+200)

=

1

3

bn+1+

2

3

an=

1

3

(

1

4

an+

3

4

bn)+

2

3

an=

3

4

an+

1

4

bn…（6分）
（II）由于題目中的問題是針對濃度之差，所以，我們不妨直接考慮數(shù)列{a_n-b_n}．
由（I）可得：an+1-bn+1=(

1

3

bn+1+

2

3

an)-bn+1=

2

3

(an-bn+1)=

2

3

[an-(

1

4

an+

3

4

bn)]=

1

2

(an-bn)
=an+1-bn+1=(

1

3

bn+1+

2

3

an)-bn+1=

2

3

(an-bn+1)=

2

3

[an-(

1

4

an+

3

4

bn)]=

1

2

(an-bn)…（8分）
所以，數(shù)列{a_n-b_n}是以a₁-b₁=18%為首項，以

1

2

為公比的等比數(shù)列．
所以，an-bn=18%×(

1

2

)n-1…（9分）
由題，令a_n-b_n＜0.1%，得(

1

2

)n-1＜

1

180

．
所以，n-1＞

lg180

lg2

=log2180．…（11分）
由2⁷＜180＜2⁸得7＜log₂180＜8，所以，n＞8…（12分）
即第9次調(diào)和后兩溶液的濃度之差小于0.1%…（13分）

點評：本題考查數(shù)列的性質(zhì)和應用，考查學生利用數(shù)學知識解決實際問題，考查學生的計算能力，屬于中檔題．