如圖甲，圓O的直徑AB=2，圓上C，D兩點(diǎn)在直徑AB的異側(cè)且∠CAB=
π
4
，∠DAB=
π
3
，沿直徑AB折起，使得兩個(gè)半圓所在的平面垂直（如圖乙），F(xiàn)為BC的中點(diǎn)．根據(jù)圖乙解答下列問(wèn)題：

（1）求三棱錐C-BOD的體積；
（2）求二面角C-AD-B的余弦值；
（3）在弧BD上是否存在點(diǎn)G，使得GF∥平面ACD？若存在，請(qǐng)確定點(diǎn)G位置，并求出直線AG與平面AG與平面ACD所成角的正弦值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
考點(diǎn)：用空間向量求平面間的夾角,棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積,直線與平面平行的判定,與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題
專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角,空間向量及應(yīng)用
分析：（1）利用圓的性質(zhì)可得CO⊥AB，利用面面垂直的性質(zhì)可得CO⊥平面BOD．在計(jì)算出S△BOD=
1
2
S△AOB，利用三棱錐的體積即可得出
（2）根據(jù)，∠DAB=60°求出D點(diǎn)坐標(biāo)，然后求出平面ACD的一個(gè)法向量，找出平面ADB的一個(gè)法向量，利用兩平面法向量所成角的余弦值求解二面角C-AD-B的余弦值；
（3）假設(shè)在 
BD
上存在點(diǎn)G，使得FG∥平面ACD，根據(jù)（1）中的結(jié)論，利用兩面平行的判定定理得到平面OFG∥平面ACD，從而得到OG∥AD，利用共線向量基本定理得到G的坐標(biāo)（含有參數(shù)），然后由向量 
OG
的模等于圓的半徑求出G點(diǎn)坐標(biāo)，最后利用向量 
AG
與平面ACD的法向量所成角的關(guān)系求直線AG與平面ACD所成角的正弦值．
解答： （1）解：∵C為圓周上一點(diǎn)，且AB為直徑，∴∠C=90°，
∵∠CAB=
π
4
，∴AC=BC，
∵O為AB中點(diǎn)，∴CO⊥AB，
∵AB=2，∴CO=1．
∵兩個(gè)半圓所在平面ACB與平面ADB互相垂直且其交線為AB，
∴CO⊥平面ABD，∴CO⊥平面BOD．
∴CO就是點(diǎn)C到平面BOD的距離，
在Rt△ABD中，S△BOD=
1
2
S△ABD=
1
2
×
1
2
×1×
3
=
3
4
．
∴VC-BOD=
1
3
S△BOD•CO=
1
3
×
3
4
×1=
3
12
．
（2）解：∵∠DAB=60°，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)D（
3
，-1，0），
AD
=（
3
，1，0）．
設(shè)二面角C-AD-B的大小為θ，
n1
=（x，y，z）為平面ACD的一個(gè)法向量．
由
n1
•
AC
=0
n1
•
AD
=0
，有
(x，y，z)•(0，2，2)=0
(x，y，z)•(
3
，1，0)=0
，
即
2y+2z=0
3
x+y=0
，取x=1，解得y=-
3
，z=
3
．∴
n1
=（1，-
3
，
3
）． 
取平面ADB的一個(gè)法向量
n2
=（0，0，1），
∴cosθ=
n1
•
n2
|
n1
||
n2
|
=
|1×0+(-
3
)×0+
3
×1|
7
×1
=
21
7
．
（3）設(shè)在
BD
上存在點(diǎn)G，使得FG∥平面ACD，
∵OF∥平面ACD，
∴平面OFG∥平面ACD，則有OG∥AD．
設(shè)
OG
=λ
AD
（λ＞0），
∵
AD
=（
3
，1，0），∴
OG
=（
3
λ，λ，0）．
又∵|
OG
|=2，
∴
(
3
λ)2+λ2+02
=2，
解得λ=±1（舍去-1）．
∴
OG
=（
3
，1，0），則G為
BD
的中點(diǎn)．
因此，在
BD
上存在點(diǎn)G，使得FG∥平面ACD，且點(diǎn)G為
BD
的中點(diǎn)．
設(shè)直線AG與平面ACD所成角為α，∵
AG
=（
3
，1，0）-（0，-2，0）=（
3
，3，0），
根據(jù)（2）的計(jì)算
n1
=（1，-
3
，
3
）為平面ACD的一個(gè)法向量，
∴sinα=cos（90°-α）=
|
AG
•
n1
|
|
AG
||
n1
|
=
|
3
×1+3×(-
3
)+0×
3
|
2
3
×
7
=
7
7
．
因此，直線AG與平面ACD所成角的正弦值為
7
7
．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查空間點(diǎn)、線、面位置關(guān)系，線面角、二面角及三角函數(shù)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間想象能力、運(yùn)算能力和推理論證能力，考查用向量方法解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力，此題是中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

若函數(shù)y=cosωx（ω＞0）的圖象向右平移
π
6
個(gè)單位后與函數(shù)y=sinωx的圖象重合，則ω的值可能是（　　）
A、
1
2
B、1
C、3
D、4

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知二次函數(shù)f（x）的二次項(xiàng)系數(shù)為a，且不等式f（x）＞-2x的解集為（1，3）．
（1）若方程f（x）+6a=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，求f（x）的解析式；
（2）若不等式f（x）＜0的解集為R，求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

若隨機(jī)變量ξ～N（2，1），且P（ξ＞3）=0.1587，則P（ξ＞1）=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

某校高三數(shù)學(xué)競(jìng)賽初賽考試后，對(duì)90分以上（含90分）的成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，其頻率分布直方圖如圖所示．若130～140分?jǐn)?shù)段的人數(shù)為2人．
（Ⅰ）求90～140分之間的人數(shù)；
（Ⅱ）求這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)M及平均數(shù)N；
（Ⅲ）現(xiàn)根據(jù)初賽成績(jī)從第一組和第五組（從低分段到高分段依次為第一組、第二組、…、第五組）中共選出兩人，形成幫扶學(xué)習(xí)小組．若選出的兩人成績(jī)之差大于20，則稱這兩人為“黃金搭檔組”，試求選出的兩人為“黃金搭檔組”的概率．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)命題p：方程x2+mx+1=0有實(shí)根，命題q：數(shù)列{
1
n(n+1)
}的前n項(xiàng)和為Sn，對(duì)?n∈N*恒有m≤Sn，若p或q為真，p且q為假，求m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

某校要從2名男同學(xué)和4名女同學(xué)中選出2人擔(dān)任羽毛球比賽的志愿者工作，每名同學(xué)當(dāng)選的機(jī)會(huì)均相等．
（Ⅰ）求當(dāng)選的2名同學(xué)中恰有l(wèi)名男同學(xué)的概率；
（Ⅱ）求當(dāng)選的2名同學(xué)中至少有1名女同學(xué)的概率．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

曲線y=log2x在點(diǎn)（1，0）處的切線與坐標(biāo)軸所圍三角形的面積等于
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

給出下列命題：
①定義在[a，b]上的偶函數(shù)以f（x）=x2+（a+5）x+b最小值為5；
②若logm3＜logn3＜0，則0＜n＜m＜1；
③若函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，則函數(shù)f（x+1）的圖象關(guān)于點(diǎn)A（1，0）對(duì)稱；
④已知
2
2-4
+
6
6-4
=2，
5
5-4
+
3
3-4
=2，
7
7-4
+
1
1-4
=2，
10
10-4
+
-2
-2-4
=2，依照以上各式的規(guī)律，得到一般性的等式為
n
n-4
+
8-n
(8-n)-4
=2，(n≠4)其中正確命題的序號(hào)是
 
．

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同步練習(xí)冊(cè)答案