Question

設(shè)命題p：方程x²+mx+1=0有實(shí)根，命題q：數(shù)列{

1

n(n+1)

}的前n項(xiàng)和為S_n，對(duì)?n∈N^*恒有m≤S_n，若p或q為真，p且q為假，求m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,復(fù)合命題的真假

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：由命題p為真命題，推導(dǎo)出m≥2或m≤-2，由命題q為真命題推導(dǎo)出m≤

1

2

，再由p，q一真一假，能求出m的取值范圍．

解答： 解：當(dāng)命題p：方程x²+mx+1=0有實(shí)根為真命題，
則△=m²-4≥0，即m≥2或m≤-2…3分
當(dāng)命題q：數(shù)列{

1

n(n+1)

}的前n項(xiàng)和為S_n，對(duì)?n∈N^*恒有m≤S_n為真命題，
則由Sn=(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)=1-

1

n+1

，
得Sn≥

1

2

…6分
又對(duì)?n∈N^*恒有m≤S_n，
∴m≤

1

2

…8分
∵p或q為真，p且q為假，
∴p，q一真一假…10分
∴-2＜m≤

1

2

，或m≥2，
∴m的取值范圍{m|-2＜m≤

1

2

，或m≥2}．…13分．

點(diǎn)評(píng)：本題考查命題的應(yīng)用，是中檔題，解題時(shí)要注意裂項(xiàng)求和法的合理運(yùn)用．